2.2 变换群与置换群

上述例子中的所有群都是交换群。非交换群最常见的例子是一类叫做变换群(transformation group)的群。我们回顾第 1.4 节，集合 $X$ 的变换是一个一一对应且到的映射 $g : X \to X$ 。映射 g 有一个反映射 $g^{- 1} : X \to X$ ，使得 $g^{- 1} \circ g = g \circ g^{- 1} = id_{X}$ 让两个变换 g 和 $h$ 的乘积定义为它们的函数组合 $g h = g \circ h$

(g h) (x) = g \circ h (x) = g (h (x)) .

$X$ 的所有变换集合构成一个群，用Transf(X)表示：

封闭性：如果g和 $h$ 是 $X$ 的变换，那么 $g h$ 也是；
结合律: $f (g h) = (f g) h$ ;
恒等元: $e = id_{X} \in$ Transf $(X);$
自反性: 如果 $g$ 是 $X$ 上的一个变换，那么 $g^{- 1}$ 也是

封闭性源于这样一个事实：两个变换（可逆映射）的组合会产生另一个可逆映射，因为 $(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ 。结合律自动适用于映射的复合，而恒等映射和逆映射是显而易见的。 $X$ 的变换群是指 Transf( $X$ )的任何子群。

如果 $X$ 是一个势为 $n$ 的有限集，那么 $X$ 的变换称为 $X$ 元素的置换(permutation)。 $X = {1, 2, \dots, n}$ 的排列群称为阶数为 $n$ 的对称群(symmetric group)，记为 $S_{n}$ 。 $S_{n}$ 的任何子群都称为置换群(permutation group)。 $n$ 元素上的一个置换 $π$ 可以用置换符号来表示

π = (1 a_{1} 2 a_{2} \dots \dots n a_{n})

其中 $a_{1} = π (1), a_{2} = π (2)$ , 等等. 同样的置换也可以写成

π = (b_{1} c_{1} b_{2} c_{2} \dots \dots b_{n} c_{n})

其中 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 是按任意顺序排列的数字 $1, 2, \dots, n$ ， $c_{1} = π (b_{1}), c_{2} =$ $π (b_{2}), \dots, c_{n} = π (b_{n})$ 。例如，将四元素集合中的元素 2 和 4 互换的置换 $π$ 可以有几种写法、

π = (11243342) = (24331142) = (42112433), etc.

就置换符号而言，如果

σ = (1 a_{1} 2 a_{2} \dots \dots n a_{n}) and π = (a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} \dots \dots a_{n} b_{n})

那么它们的乘积就是排列 $πσ = π \circ σ$

πσ = (1 b_{1} 2 b_{2} \dots \dots n b_{n}) .

请注意，这种乘积涉及先进行 $σ$ 后进行 $π$ 的置换，这与它们的书写顺序相反；在这一点上可以有不同的约定。由于乘积是函数复合，因此结合律是有保证的。恒等置换为

id_{n} = (1122 \dots \dots n n),

而任何置换的逆定理都由下式给出

π^{- 1} = (1 a_{1} 2 a_{2} \dots \dots n a_{n})^{- 1} = (a_{1} 1 a_{2} 2 \dots \dots a_{n} n) .

对称群 $S_{n}$ 是一个阶数为 $n!$ 的有限群，即 $n$ 对象可被置换的方式总数。一般来说，它不是阿贝尔的。例如，在 $S_{3}$ 中

(112332) (122133) = (231132) (122133) = (132132)

而

(122133) (112332) = (123321) (112332) = (122331) .

一种更简洁的排列符号是循环符号。从任意一个要被置换的元素开始，例如 $a_{1}$ 。让 $a_{2}$ 成为对 $a_{1}$ 应用 $π$ 变化的结果，让 $a_{3}$ 成为对 $a_{2}$ 应用 $π$ 变化的结果，等等。最终，第一个元素 $a_{1}$ 必须再次出现，比如 $a_{m + 1} = a_{1}$ 。这就定义了一个循环(cycle)，写成 $(a_{1} a_{2} \dots a_{m})$ 。如果 $m = n$ ，那么 $π$ 就被称为循环排列。如果 $m < n$ 那么取任何一个没有出现在由 $a_{1}$ 产生的循环中的元素 $b_{1}$ ，并在 $π$ 下创建一个由 $b_{1}$ 的连续图像组成的新循环 $(b_{1} b_{2} \dots b_{m})$ 。继续下去，直到耗尽所有元素 $1, 2, \dots, n$ 。置换 $π$ 可以写成其循环的的乘积；例如

(14253347526176) = (1476) (25) (3) .

请注意，选择循环中的哪个元素作为第一个成员并不重要，因此， $(1476) = (7614)$ 和 $(25) = (52)$

像 (3) 这样长度为 l 的循环仅仅表示置换 $π$ 使元素 3 保持不变。如果我们从符号中完全忽略这样的 l 循环，写成

(1476) (25) (3) = (1476) (25) .

没有共同元素的循环，书写顺序也无关紧要

(1476) (25) = (25) (1476) .

按照从右到左的顺序，根据循环对每个元素的影响，可以很容易地得到排列组合的乘积。例如

(137) (542) (12) (3467) (146) = (1654) (23) (7)

从 $1 \to 4 \to 6, 6 \to 1 \to 2 \to 5, 5 \to 4, 4 \to 6 \to 7 \to 1$ ，等等。

随文练习

用循环符号表示 ${1, 2, 3}$ 上的每个排列组合，并写出 $S_{3}$ 的 $6 \times 6$ 乘法表。

长度为 2 的循环称为交换(transposition)。每个循环都可以写成交换的乘积

(a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}) = (a_{2} a_{3}) (a_{3} a_{4}) \dots (a_{n - 1} a_{n}) (a_{n} a_{1}),

由于每个排列 $π$ 都是循环的乘积，所以它又是交换的乘积。作为交换积的置换表示一般不是唯一的，但所需的交换次数要么总是奇数，要么总是偶数。为了证明这一点，请考虑同次多项式

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = i < j \prod (x_{i} - x_{j}) = (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3}) \dots (x_{1} - x_{n}) (x_{2} - x_{3}) \dots (x_{n - 1} - x_{n}) .

如果任意一对变量 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 互换，那么对于所有的 $k \neq = i, j$ 来说，因子 $(x_{i} - x_{j})$ 的符号发生变化，因子 $(x_{i} - x_{k})$ 与 $(x_{j} - x_{k})$ 互换。当 $k < i < j$ 或 $i < j < k$ 时，后一过程中两个因子的符号都不会改变，而当 $i < k < j$ 时，每个因子的符号都会改变，但这两个因子的乘积总体上也不会改变符号。 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 互换的净结果是多项式 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的符号改变。因此，根据 $f$ 是保持不变还是改变了符号，可以把置换称为偶数或奇数。在第一种情况下，它们可以写成偶数，而在第二种情况下，它们可以写成奇数。

因此，根据 $f$ 是否保持不变或改变其符号，排列可以被称为偶排列或奇排列。在第一种情况下，它们可以写成偶数，而且只能写成偶数交换，而在第二种情况下，它们只能写成奇数。这种品质称为排列的奇偶性(parity)，而量

(- 1)^{π} = {+ 1 - 1 if π is even, if π is odd,

称为排列的符号(sign)。有时它被表示为符号 $π$ 。

随文练习

证明

$(- 1)^{πσ} = (- 1)^{σπ} = (- 1)^{π} (- 1)^{σ} . (2.1)$

例 2.7

在欧几里得平面上考虑一个四个角被标记为1,2,3,4的正方形。正方形的对称群由四个旋转（顺时针旋转 $0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ 和 $27 0^{\circ}),$ 分别表示为 $R_{0}, R_{1}, R_{2}$ 和 $R_{3}$ ，以及关于四个轴(见图2.1)的反射 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 和 $S_{4}$ 组成。

这个群不是可交换的，因为， $R_{1} S_{1} = S_{4} \neq = S_{1} R_{1} = S_{3}$ —— 请记住，在任何此类乘积中，最右边的操作都是最先执行的！进行这些计算的一个好方法是将每种变换都视为顶点的排列；例如，在循环符号 $R_{1} = (1234), R_{2} = (13) (24), S_{1} = (14) (23), S_{3} = (13)$ 等等，因此正方形的对称群是对称群 $S_{4}$ 的阶数为8的子群。

正方形的对称群

图 2.1 正方形的对称群

随文练习

练习：证明整个群可以通过重复应用 $R_{1}$ 和 $S_{1}$ 来生成。

例 2.8

一个 $S_{n}$ 重要的子群是所有偶排列的集合，即 $(- 1)^{π} = 1$ ，被称为交替群(alternating group)，记作 $A_{n}$ 。闭包性质，即两个偶排列的乘积总是偶排列，可以直接由式(2.1)得出。此外，标识排列id $_{z}$ 显然是偶排列，而偶排列 $π$ 的逆也必定是偶排列，因为
$(- 1)^{πσ} = (- 1)^{σπ} = (- 1)^{π} (- 1)^{σ} .$
因此 $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的一个子群，阶数是 $n! /2.$

例 2.9

设 $π$ 是 $1, 2, \dots, n$ 的任意排列，由于 $n$ 个物体共有 $n$ !种排列，连续迭代 $π^{2}, π^{3}, \dots$ 最终会得到重复，即 $π^{k} = π^{l}$ ，从而 $π^{l - k} = id_{n}$ 。满足 $π^{m} = id_{n}$ 的最小 $m$ 被称为排列 $π$ 的阶数。任何长度为 $k$ 的周期显然有阶 $k$ ，而由于任何排列都可以写成周期的乘积，排列的阶就是它的周期的最小公倍数。例如，(123)(45)的阶是3和2的最小公倍数，即6。元素 ${id_{n}, π, π^{2}, \dots, π^{m - 1} = π^{- 1}}$ 形成 $S_{n}$ 的子群，称为由 $π$ 生成的子群。它显然是一个循环群。

习题

习题 2.1

证明实数加法群唯一的有限子群是单子集 ${0}$ ，而实数乘法群的有限子群只有 ${1}$ 和 ${1, - 1}$ 。

求非零复数乘法群 $\dot{C}$ 的所有有限子群。

习题 2.2

写出例 2.7 中正方形对称群 $D_{4}$ 的完整 $8 \times 8$ 乘法表。证明 $R_{2}$ 和 $S_{1}$ 生成一个阿贝尔子群，并写出它的乘法表。

习题 2.3

(a) 求图 2.2(a) 中保持顶点 $1$ 不变的立方体对称变换，用循环记号将它们写成顶点的置换。

(b) 求图 2.2(b) 中正四面体的旋转对称群。

(c) 对图 2.2(c) 中的正八面体作同样的研究。

习题 2.4

证明素数模乘法群 $G_{7}, G_{11}, G_{17}, G_{23}$ 都是循环群，并分别求出一个生成元。

习题 2.5

证明 $S_{n}$ 的任何循环子群的阶都是 $n!$ 的因子。

2.2 变换群与置换群

习题

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