2.6 群作用

一个群$G$在集合$X$上的左作用(left action)是$G$到变换群$\mathrm{Transf}(X)$的同态：

$$\phi :G\to \mathrm{Transf}(X)$$

通常将$\phi (g)(x)$简写为$gx$，这样可以将$ghx$简写成$(gh)x$，因为

$$(gh)x=\phi (gh)(x)=\phi (g)\phi (h)(x)=\phi (g)(hx)=g(hx).$$

群$G$在${\mathbb{R}}^n$上的左作用$\varphi$，其所有像都是线性变换，它对应一个同态：

$$\varphi :G\to GL(n,\mathbb{R})$$

它被称为$G$的$n$维表示(representation)。类似地，同态$\varphi :G\to$ $GL(n,\mathbb{C})$被称为$G$的复$n$维表示。

反同态(anti-homomorphism)是定义为具有性质的映射$\rho :G\to \mathrm{Transf}(X)$：

$$\rho (gh)=\rho (h)\rho (g)$$

它可以产生右作用(right action)$xg=\rho (g)(x)$，这个表达式与写成$xgh$代替$x(gh)=(xg)h$是一致的。

随文练习

如果$\phi :G\to H$是一个同态，证明由$\rho (g)=\phi \left(g^{-1}\right)$定义的映射$\rho :G\to H$是一个反同态。

设G有一个左作用在X上，点x的轨道(orbit)$Gx$是可以通过这个作用从x到达的所有点的集合：

$$Gx=\{gx\mid g\in G\}\text{. }$$

如果整个X都是某个点X的轨道，我们就说G对X的作用是遍历的(transitive)：

$$\exists x\in X\text{使得}X=Gx$$

在这种情况下，任何一对元素$y,z\in X$都可以通过群元素的作用连接起来，因为如果$y=gx$和$z=hx$，那么$z=g^{\prime }y$，其中$g^{\prime }=h{g}^{-1}$。因此，对于所有$y\in X$，$X=Gy$。

如果$x$是X的任意一点，定义x的各向同性群(isotropy group)为：

$$G_x=\{g\mid gx=x\}$$

如果$gx=x⟹g={\mathrm{id}}_X$，那么G对X的作用就被称为自由的。 在这种情况下，各向同性群是平凡的，$G_x=\left\{{\mathrm{id}}_X\right\}$，对于每一点$x\in X$。

随文练习

证明$G_x$形成G的子群。

如果$x\in X$和$h,h^{\prime }\in G$，那么：

$$hx=h^{\prime }x⟹h^{-1}{h}^{\prime }\in G_x⟹h^{\prime }\in h{G}_x$$

如果G是一个有限群，我们用$|S|$表示任何子集S中的点的数量。 由于$h{G}_x$是子群$G_x$的左陪集，而且根据Lagrange定理2.3的证明，所有的陪集都有相同数量的元素，因此必须有正好$\left|G_x\right|$个群元素将x映射到其轨道$Gx$的任何点$y$。 因此

$$|G|=|Gx|\left|G_x\right|\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

例 2.23

2阶循环群${\mathbb{Z}}_2=\{e,a\}$，其中$a^2=e$，对实数$\mathbb{R}$施加作用：

$$ex=x,ax=-x$$

任意一点$x\ne 0$的陪集为${\mathbb{Z}}_{2}x=\{x,-x\}$，而${\mathbb{Z}}_{2}0=\{0\}$。这一作用不是遍历的。原点的各向同性群是整个${\mathbb{Z}}_2$，而其它任何点的各向同性群都是$\{e\}$。分别对于$x=0$和$x\ne 0$的情形分别检验 (2.16) 很简单。

例 2.24

实数加法群$\mathbb{R}$ 对复平面$\mathbb{C}$施行作用：

$$\theta :z\mapsto z{e}^{i\theta }$$

任意$z\ne 0$的轨道是围绕0为圆心、半径为$r=|z|$的圆。该作用不是遍历的，因为不同半径的圆是互不相交的。任意$z\ne 0$的各向同性群是形如$\theta =2\pi n$ 的实数，其中$n\in \mathbb{Z}$。因此，对于$z\ne 0$的各向同性群${\mathbb{R}}_z$与加法群$\mathbb{Z}$同构。另一方面，$z=0$的各向同性群是$\mathbb{R}$的全部元素。

例 2.25

一个群$G$通过左乘变换来作用于自身：

$$g:h\mapsto L_{g}h=gh$$

由于任何元素$g^{\prime }$都可以通过左乘变换从另一个$g$到达，因此这种作用显然是遍历的：

$$g^{\prime }=L_{g^{\prime }{g}^{-1}}g$$

任何子群$H\subseteq G$也会通过左乘变换来作用于$G$。在这种作用下，任何群元素$g$的轨道是包含$g$的右陪集$Hg$。类似地，在$H$对$G$定义的右乘变换$R_h:g\mapsto gh$的作用下，轨道是左陪集$gH$。一般情况下，这些作用并不遍历。

例 2.26

由元素$g$所定义的共轭过程，如式(2.14)所示，是群$G$对其自身的左作用，因为映射$g\mapsto C_g$是一个同态，

$$C_{gh}a=(gh)a(gh{)}^{-1}=gha{h}^{-1}{g}^{-1}=C_g{C}_{h}a$$

其中我们写$C_{g}a$ 代表$C_g(a)$。共轭作用的轨道正是共轭类。由式(2.16)可知，如果$G$是一个有限群，那么任何共轭类中的元素数量，作为$G$作用的轨道，是群$|G|$的阶数的因数。

如果$G$在集$X$上有一个左作用，并且$x$和$y$是$X$中处于同一轨道的任意一对点，即$y=hx$，其中$h\in G$，那么它们的各向同性群是彼此共轭的，

$$G_y=G_{hx}=h{G}_x{h}^{-1}\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

因为，设$g\in G_y$，即$gy=y$。由于$y=hx$，因此应用$h^{-1}$得到$h^{-1}ghx=x$。因此$h^{-1}gh\in G_x$，或者等价地$g\in h{G}_x{h}^{-1}$。反之，即$h{G}_x{h}^{-1}\subseteq G_y$，是直接的：对于任何$g\in h{G}_x{h}^{-1}$，我们有

$$gy=ghx=h{g}^{\prime }{h}^{-1}hx\text{ 其中 }{g}^{\prime }\in G_x,$$

因此$gy=hx=y$和$g\in G_y$。因此，$x$和$y$的各向同性群是同构的，因为它们是彼此共轭的，并且是由内部自同构关联的。如果$G$对$X$的作用是遍历的，那么任意一对点$x$和$y$的各向同性群是彼此同构的。

随文练习

在什么情况下，元素 $g$ 对群 $G$ 的共轭作用是遍历的？

习题

习题 2.19

若 $H$ 是群 $G$ 的任意子群，在左陪集所成集合 $G/H$ 上定义 $G$ 的作用：

$$g:g^{\prime }H\mapsto g{g}^{\prime }H.$$

(a) 证明这总是 $G$ 在 $G/H$ 上的遍历作用。

(b) 设 $G$ 在集合 $X$ 上有遍历左作用，并取任一点 $x$ 的各向同性群 $H=G_x$。证明映射 $i:G/H\to X$，定义为 $i(gH)=gx$，是良定义且一一到上的。

(c) 证明 $G$ 在 $X$ 上的左作用可与 (a) 中定义的 $G$ 在 $G/H$ 上的作用等同。

(d) 证明正常正交变换群 $SO(3)$ 遍历地作用于二维球面 $S^2$：

$$S^2=\{(x,y,z)\mid r^2=x^2+y^2+z^2=1\}=\{\mathbf{r}\mid r^2={\mathbf{r}}^T\mathbf{r}=1\},$$

其中 $\mathbf{r}$ 是实分量为 $x,y,z$ 的列向量。证明任一点 $\mathbf{r}$ 的各向同性群同构于 $SO(2)$，并求陪集空间 $SO(3)/SO(2)$ 与 $S^2$ 的一个双射，使得 $SO(3)$ 在这两个空间上的左作用相同。