10.5 豪斯多夫空间

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在某些拓扑中，例如不可分拓扑，开集少到无法用不相交的邻域将不同的点分离开来。为弥补这一情形，人们有时会对拓扑空间施加称为 分离公理(separation axiom) 的条件。其中最常见的一个是豪斯多夫条件：对于每一对点 $x$、$y\in X$，存在 $x$ 的开邻域 $U$ 和 $y$ 的开邻域 $V$，使得 $U\cap V=\varnothing$。满足这一性质的拓扑空间称为 豪斯多夫空间(Hausdorff space)。从直观意义上说，豪斯多夫空间中任何一对不同的点都不会“任意地彼此接近”。

豪斯多夫空间的一个典型‘良好’性质是：在问题10.7中定义的任何收敛序列$x_n\to x$的极限是唯一的。例如，假设在豪斯多夫空间$X$中有$x_n\to x$和$x_n\to x^{\prime }$。若$x\ne x^{\prime }$，则令$U$和$U^{\prime }$为不相交的开邻域，使得$x\in U$和$x^{\prime }\in U^{\prime }$，并令$N$为一个整数，使得对所有$n>N$都有$x_n\in U$。由于对所有$n>N$都有$x_n\notin U^{\prime }$，序列$x_n$不可能收敛到$x^{\prime }$。因此$x=x^{\prime }$

在豪斯多夫空间中，每个单元素集 $\{x\}$ 都是闭集，因为设 $Y=X-\{x\}$ 为其补集。每个点 $y\in Y$ 都有一个开邻域 $U_y$，它与 $x$ 的某个开邻域不相交。特别地，$x\notin U_y$。由 (Top3)，所有这些开邻域的并集 $\begin{array}{r}Y={\bigcup }_{y\in Y}{U}_y=X-\{x\}\end{array}$ 是开集。因此，$\{x\}=X-Y$ 是闭集，因为它是开集的补集。

随文练习

证明：在有限集 $X,$ 上，唯一的豪斯多夫拓扑是离散拓扑。因此，有限拓扑的意义有限。

定理 10.4 · 度量空间的豪斯多夫性 (Metric spaces are Hausdorff)

每个度量空间 $(X,d)$ 都是豪斯多夫空间。

证明

设 $x,y\in X$ 为任意一对不相等的点，并设 $\begin{array}{r}ϵ=\frac{1}{4}d(x,y)\end{array}$。开球 $U=B_{ϵ}(x)$ 与 $V=B_{ϵ}(y)$ 分别是 $x$ 与 $y$ 的开邻域。它们的交集为空，因为若 $z\in U\cap V$，则 $d(x,z)<ϵ$ 与 $d(y,z)<ϵ$，这与三角不等式 (Met4) 矛盾，

$$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\le 2ϵ<\frac{1}{2}d(x,y).$$

该定理的一个直接推论是：对于所有 $n>0$，${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑都是豪斯多夫拓扑。

定理 10.5 · 连续单射与豪斯多夫性 (Continuous injections and the Hausdorff property)

若 $X$ 与 $Y$ 是拓扑空间，且 $f:X\to Y$ 是一一连续映射，则当 $Y$ 是豪斯多夫空间时，$X$ 是豪斯多夫空间。

证明

设 $x$ 与 $x^{\prime }$ 为 $X$ 中任意一对互异点，并令 $y=f(x),y^{\prime }=f(x^{\prime })$。由于 $f$ 是一一映射，它们是 $Y$ 中互异的点。若 $Y$ 是豪斯多夫空间，则存在 $Y$ 中分别包含 $y$ 与 $y^{\prime }$ 的不相交开邻域 $U_y$ 与 $U_{y^{\prime }}$。这些集合在 $f$ 下的原像分别是 $x$ 与 $x^{\prime }$ 的开邻域，且互不相交，因为 $f^{-1}(U_y)\cap f^{-1}(U_{y^{\prime }})=f^{-1}(U_y\cap U_{y^{\prime }})=f^{-1}(\varnothing )=\varnothing .$

这表明豪斯多夫条件是真正的拓扑性质，在拓扑变换下不变，因为若 $f:X\to Y$ 是同胚，则 $f^{-1}:Y\to X$ 是连续且一一的。

推论 10.6 · 豪斯多夫子空间 (Subspaces of Hausdorff spaces)

豪斯多夫空间的任何子空间在相对拓扑下都是豪斯多夫空间

证明

设 $A$ 为拓扑空间 $X$ 的任意子集。在相对拓扑下，包含映射 $i_A:A\to X$ 是连续的。由于它是单射，定理 10.5 蕴含 $A$ 是豪斯多夫空间。

定理 10.7 · 豪斯多夫空间的乘积 (Products of Hausdorff spaces)

若 $X$ 与 $Y$ 是豪斯多夫拓扑空间，则其拓扑积 $X\times Y$ 是豪斯多夫的。

证明

设 $(x,y)$ 与 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 为 $X\times Y$ 中任意一对互不相同的点，因此或者 $x\ne x^{\prime }$，或者 $y\ne y^{\prime }$。假设 $x\ne x^{\prime }.$。于是存在 $X$ 中的开集 $U$ 与 $U^{\prime }$，使得 $x\in U{x}^{\prime }\in U^{\prime }$ 且 $U\cap U^{\prime }=\varnothing$。集合 $U\times Y$ 与 $U^{\prime }\times Y$ 分别是 $(x,y)$ 与 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 的不相交开邻域。类似地，若 $y\ne y^{\prime }\mathbf{a}$，则可找到形如 $X\times V$ 与 $X\times V^{\prime }$ 的一对不相交邻域，将这两点分离。

习题

习题 10.14

设 $Y$ 是豪斯多夫拓扑空间，证明从具有不可分拓扑的拓扑空间 $X$ 到 $Y$ 的每个连续映射 $f:X\to Y$ 都是常值映射；也就是说，是形如 $f(x)=y_0$ 的映射，其中 $y_0$ 是 $Y$ 的一个固定元素。

习题 10.15

证明：若 $f:X\to Y$ 与 $g:X\to Y$ 是从拓扑空间 $X$ 到豪斯多夫空间 $Y$ 的连续映射，则使这两个映射相等的点集 $A$，即 $A=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$，是闭集。若 $A$ 是 $X$ 的稠密子集，证明 $f=g$