10.1 欧几里得拓扑

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拓扑空间的典型模型是实数轴与欧几里得平面 ${\mathbb{R}}^2$。在实数轴 $\mathbb{R}$ 上，开区间(open interval) 是任意集合 $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}$。若存在 $ϵ>0$ 使得开区间 $(x-ϵ,x+ϵ)$ 是 $U$ 的子集，则称集合 $U\subseteq \mathbb{R}$ 为 $x\in \mathbb{R}$ 的 邻域(neighbourhood)。我们说实数序列 $\{x_n\}$ 收敛(convergence)到 $x\in \mathbb{R}$，记作 $x_n\to x$，如果对每个 $ϵ>0$ 都存在整数 $N>0$，使得对所有 $n>N;$ 有 $|x-x_n|<ϵ$；也就是说，当 $n$ 充分大时，序列 $x_n$ 进入并停留在 $x$ 的每个邻域 $U$ 中。此时称点 $x$ 为序列 $\{x_n\}$ 的 极限(limit)。

随文练习

证明序列的极限是唯一的：若 $x_n\to x$ 且 $x_n\to x^{\prime }$，则 $x=x^{\prime }$

类似的定义适用于欧几里得平面 ${\mathbb{R}}^2$，其中我们令 $|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2}$。在此情形下，开区间被 开球(open ball) 取代。

$$B_r(\mathbf{x})=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^2||\mathbf{y}-\mathbf{x}|<r\}$$

而集合 $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 称为 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2$ 的邻域，如果存在实数 $ϵ>0$ 使得开球 $B_{ϵ}(\mathbf{x})\subseteq U$ 。点列 $\left\{{\mathbf{x}}_n\right\}$ 收敛到 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2$ ，或称 $x$ 是序列 $\left\{{\mathbf{x}}_n\right\}$ 的极限，如果对每个 $ϵ>0$ 都存在整数 $N>0$ 使得

$${\mathbf{x}}_n\in B_{ϵ}(\mathbf{x})\text{ for all }n>N.$$

我们再次写出 ${\mathbf{x}}_n\to \mathbf{x}$，该定义等价于下述命题：对于 $x$ 的每个邻域 $U$，存在 $N>0$，使得对于所有 $n>N$ 都有 ${\mathbf{x}}_n\in U$

在 $\mathbb{R}$ 或 ${\mathbb{R}}^2$ 中的 开集(open set) $U$ 是一个集合，它是其中每一点的邻域。直观地说，$U$ 在 $\mathbb{R}$ 中是开的（相应地，${\mathbb{R}}^2)$，如果 $U$ 中的每一点都可以被“加厚”为 $U$ 内的一个开区间（相应地，开球）（见图 10.1）。例如，单位球 $B_1(\mathbf{O})=\{\mathbf{y}||\mathbf{y}{|}^2<1\}$ 是一个开集，因为对于每一点 $\mathbf{x}\in B_1(\mathbf{O})$，开球 $B_{ϵ}(\mathbf{x})\subseteq B_1(\mathbf{O})$，其中 $ϵ=1-|\mathbf{x}|>0$

图 10.1 开集中的点可以被“加厚”为包含在该集合内的开球

在实数轴上可以证明，最一般的开集由互不相交的开区间的并集构成，

$$\dots ,(a_{-1},a_0),(a_1,a_2),(a_3,a_4),(a_5,a_6),\dots$$

其中 $\begin{array}{r}\dots a_{-1}<a_0\le a_1<a_2\le a_3<a_4\le a_5<a_6\le ..\end{array}$ 。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，开集不能如此简单地分类，因为尽管每个开集都是开球的并集，但该并集不必是不相交的。

在标准分析中，称函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $x$ 处连续，如果对于每个 $ϵ>0$ 都存在 $\delta >0$ 使得

$$|y-x|<\delta ⟹|f(y)-f(x)|<ϵ.$$

因此，对于每个 $ϵ>0$，逆像集 $f^{-1}(f(x)-ϵ,f(x)+ϵ)$ 是 $x$ 的邻域，因为它包含一个以 $x$ 为中心的开区间 $(x-\delta ,x+\delta )$ )。由于 $f(x)$ 的每个邻域都包含形如 $(f(x)-ϵ,f(x)+ϵ)$ 的区间，函数 $f$ 在 $x$ 处连续，当且仅当 $f(x)$ 的每个邻域的逆像是 $x$ 的邻域。若函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在每一点 $x\in \mathbb{R}$ 处连续，则称该函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

定理 10.1 · 连续性的开集原像判别 (Continuity characterized by inverse images of open sets)

函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，当且仅当每个开集 $U\subseteq \mathbb{R}$ 的逆像 $V=f^{-1}(U)$ 是 $R$ 的开子集。

证明

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。由于开集 $U$ 是每一点 $y\in U,$ 的邻域，其逆像 $V=f^{-1}(U)$ 必为每一点 $x\in V$ 的邻域。因此 $V$ 是开集。

反之，设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是任意一个具有如下性质的函数：对每个开集 $U\subseteq \mathbb{R}$，$V=f^{-1}(U)$ 都是开集。那么对任意 $x\in \mathbb{R}$ 以及每个 $ϵ>0$，$f$ 下开区间 $(f(x)-ϵ,f(x)+ϵ)$ 的原像是包含 $x$ 的开集。因此它包含一个形如 $(x-\delta ,x+\delta )$ ) 的开区间，从而 $f$ 在 $x$ 处连续。由于 $x$ 是任意一点，函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

在一般拓扑学中，这将用作连续映射的定义性特征。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，处理几乎完全相同。称函数 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 在 $x$ 处连续，如果对于每个 $ϵ>0$ 都存在实数 $\delta >0$ 使得

$$|\mathbf{y}-\mathbf{x}|<\delta ⟹|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x})|<ϵ.$$

与定理 10.1 中给出的证明本质相同的证明表明，函数 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续，当且仅当每个开集 $U\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 的逆像 $f^{-1}(U)$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的开子集。这同样适用于实值函数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 。因此，函数的连续性完全可以由其对于开集的逆作用来描述。出于这一原因，开集被视为拓扑空间的关键要素。来自欧几里得空间以及嵌入其中的曲面的经验使数学家认识到，开集最重要的性质可以概括为几条简单的规则，这些规则将在下一节中列出（另见 [1–8]）。