10.2 一般拓扑空间

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给定集合 $X$，$X$ 上的一个 拓扑(topology) 由一族子集 $\mathcal{O}$ 组成，这些子集称为开集，且满足以下条件：

（上1）空集 $\varnothing$ 是开集，整个空间 $X$ 是开集，$\{\varnothing ,X\}\subset \mathcal{O}$

(Top2) 若 $U$ 与 $V$ 均为开集，则它们的交集 $U\cap V$ 也是开集。

$$U\in \mathcal{O}\text{ and }V\in \mathcal{O}⟹U\cap V\in \mathcal{O}.$$

(Top3) 若 $\left\{V_i\mid i\in I\right\}$ 是任意一族开集，则它们的并集 ${\bigcup }_{i\in I}{V}_i$ 是开集。

连续应用 (Top2) 可知，任意有限个开集的交集是开集，但 $\mathcal{O}$ 一般对开集的无限交集不封闭。另一方面，$\mathcal{O}$ 对开集的任意并集封闭。二元组 $(X,\mathcal{O})$，其中 $\mathcal{O}$ 是 $X$ 上的一个拓扑，称为一个 拓扑空间(topological space)。当拓扑 $\mathcal{O}$ 已明确时，我们常常就直接说拓扑空间 $X$。底空间 $X$ 的元素通常称为点。

例 10.1

定义 $\mathcal{O}$ 为实数直线 $\mathbb{R}$ 的一族子集 $U$，其具有如下性质：对每个 $x\in U$，存在开区间 $(x-ϵ,x+ϵ)\subseteq U$，其中 $ϵ>0$ 为某个数。这些集合与第 10.1 节中给出的开集定义一致。空集按默认规定属于 $\mathcal{O}$，而整条直线 $\mathbb{R}$ 显然是开的，因为每一点都位于某个开区间中。因此，(Top1) 对族 $\mathcal{O}$ 成立。为证明 (Top2)，设 $U$ 与 $V$ 为开集，使得 $U\cap V\ne \varnothing ,$，其中 $U\cap V=\varnothing$ 的情形是平凡的。对任意 $x\in U\cap V$，存在正数 ${ϵ}_1$ 与 ${ϵ}_2$，使得

$$(x-{ϵ}_1,x+{ϵ}_1)\subseteq U\text{ and }(x-{ϵ}_2,x+{ϵ}_2)\subseteq V.$$

若 $ϵ=\min ({ϵ}_1,{ϵ}_2)$，则 $(x-ϵ,x+ϵ)\subseteq U\cap V$，因此 $U\cap V$ 是开集。

对于 (Top3)，设 $U$ 为任意一族开集 $\{U_i\mid i\in I\}$ 的并集。若 $x\in U,$，则 $x\in U_j$ 对某个 $j\in I$ 成立，且存在 $ϵ>0$ 使得 $(x-ϵ,x+ϵ)\subseteq U_j\subseteq U$。因此 $U$ 是开集，且族 $\mathcal{O}$ 构成 $\mathbb{R}$ 的一个拓扑。它通常被称为 标准拓扑(standard topology) 上的 $\mathbb{R}$。任何开区间 $(a,b)$，其中 $a<b$，都是开集，因为若 $x\in (a,b)$，则 $(x-ϵ,x+ϵ)\subset (a,b)$ 对 $\begin{array}{r}ϵ=\frac{1}{2}\min (x-a,b-x)\end{array}$ 成立。类似的论证表明，这些区间也可以具有半无限的范围，例如 $(-\infty ,a)$ 或 $(b,\infty )$。注意，开集的无限交集一般不会产生开集。例如，孤立点 $\{a\}$ 不是开集，因为它不包含任何有限开区间，然而它却是无限多个开区间序列的交集，例如

$$(a-1,a+1),(a-\frac{1}{2},a+\frac{1}{2}),(a-\frac{1}{3},a+\frac{1}{3}),(a-\frac{1}{4},a+\frac{1}{4}),\dots$$

类似的论证可用于证明 ${\mathbb{R}}^2$ 上在 10.1 节中定义的开集构成一个拓扑。同样地，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中我们定义一个拓扑，其中集合 $U$ 被称为开集，如果对于每个点 $\mathbf{x}\in U$ 都存在一个开球

$$B_r(\mathbf{x})=\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^2||\mathbf{y}-\mathbf{x}|<r\}\subset U,$$

其中

$$|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+\cdots +(y_n-x_n{)}^2}.$$

此拓扑将再次被称为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的标准拓扑

例 10.2

考虑 ${\mathcal{O}}^{\prime }$ 这一族 $\mathbb{R}$ 上所有形如 $(-a,b)$ 的开区间，其中 $a,b>0;$，再加上空集。所有这些区间都包含原点 0。不难证明 (Top1)–(Top3) 对这一族成立，并且 $(X,{\mathcal{O}}^{\prime })$ 是一个拓扑空间。这个空间在其某些性质上并不十分“好”。例如，没有两个点 $x$、$y\in \mathbb{R}$ 位于不相交的邻域中。在某种意义上，这条直线的所有点“在这一拓扑中彼此任意接近”。

一个子集 $V$ 称为 闭集(closed set)，如果它的补集 $X-V$ 是开集。空集和整个空间显然是闭集，因为它们都是开集，并且互为补集。任意一族闭集的交集是闭集，因为它是开集并集的补集。然而，一般而言，只有有限个闭集的并集才是闭集。

例 10.3

每个闭区间 $[a,b]=\{x\mid a\le x\le b\}$ 都是闭集，其中 $-\infty <a\le b<\infty$ 是闭集，因为它是开集 $(-\infty ,a)\cup (b,\infty )$ 的补集。由孤立点 $\{a\}\equiv [a,a]$ 构成的每个单元素集都是闭集。闭区间 $[a,b]$ 不是开集，因为端点 $a$ 或 $b$ 不属于任何包含于 [$a$, $b$] 的开区间。

若 $A$ 是 $X$ 的任意子集，则 相对拓扑(relative topology) 在 $A$ 上，或 $A$ 上诱导的拓扑，是这样一个拓扑，其开集为

$${\mathcal{O}}_A=\{A\cap U|U\in \mathcal{O}\}.$$

因此，一个集合在 $A$ 上的相对拓扑中是开集，当且仅当它是 $A$ 与 $X$ 中一个开集 $U$ 的交集（见图 10.2）。这些集合构成 $A$ 上的一个拓扑，这由以下三个事实推出：

1. $\varnothing \cap A=\varnothing ,X\cap A=A.$

2. $(U\cap A)\cap (V\cap A)=(U\cap V)\cap A.$

3. ${\bigcup }_{i\in I}(U_i\cap A)=\left({\bigcup }_{i\in I}{U}_i\right)\cap A.$

$X$ 的子集 $A$ 连同其上诱导的相对拓扑 ${\mathcal{O}}_A$ 一起，称为 $(X,\mathcal{O})$ 的一个 子空间(subspace)

图 10.2 拓扑空间子集上诱导的相对拓扑

例 10.4

半开区间 $A=[0,1)\subset \mathbb{R}$ 上的相对拓扑，由 $\mathbb{R}$ 上的标准拓扑在 $A$ 上诱导得到，是形如 $[0,a)$ 的半开区间的并集

其中 $0<a<1$，且所有形如 $(a,b)$ 的区间，其中 $0<a<b\le 1$。显然，此拓扑中的某些开集在 $\mathbb{R}$ 中并非开集。

随文练习

证明：若 $A\subseteq X$ 是开集，则 $A$ 上相对拓扑中的所有开集在 $X$ 中都是开集。

随文练习

若 $A$ 是闭集，证明 $A$ 上诱导拓扑中的每个闭集在 $X$ 中都是闭集。

称点 $x$ 为集合 $A$ 的 聚点(accumulation point)，如果 $x$ 的每个开邻域 $U$ 都含有 $A$ 中异于 $x$ 本身的点，如图 10.3 所示。这意味着 $x$ 可能属于也可能不属于 $A$，但 $A$ 的点可以任意接近它而“聚集”在其附近（有时也称它为 $A$ 的 聚点(cluster point)）。$A$ 相关概念通常应用于点序列 $x_n\in X$。若对 $x$ 的每个开邻域 $U$，都存在整数 $N$，使得对所有 $n\ge N$ 都有 $x_n\in U$，则称序列 $x_n\in X$ 收敛到 $x\in X$，或称 $x$ 是 $\{x_n\}$ 的 极限点(limit point)，记作 $x_n\to x,$。这与聚点的区别在于，对某个 $n_0$，可能对所有 $n>n_0$ 都有 $x_n=x$

图 10.3 集合的聚点

任意集合 $A$ 的 闭包(closure)，记作 $\overline{A}$，是集合 $A$ 与其所有聚点的并集。$A$ 的 内部(interior) 是所有开集 $U\subseteq A,$ 的并集，记作 $A^o$。这两个集合的差 $b(A)=\overline{A}-A^o$ 称为 $A$ 的 边界(boundary)。

定理 10.2 · 闭包、内部与边界的基本性质 (Basic properties of closure, interior and boundary)

任意集合 $A$ 的闭包是闭集。内部 $A^o$ 是包含于 $A$ 的最大开集。边界 $b(A)$ 是闭集。

证明

设 $x$ 为不在 $\overline{A}.$ 中的任意一点。由于 $x$ 不在 $A$ 中，且不是 $A$ 的聚点，故存在一个开邻域 $U_x$ 与 $A$ 不相交。此外，$U_x$ 不可能包含 $A$ 的任何其他聚点，否则它将成为该点的一个开邻域且与 $A$ 不相交。因此，$A$ 的闭包的补集 $X-\overline{A}$ 是开集 $U_x$ 的并集。因而它本身也是开集，而其补集 $\overline{A}$ 是闭集。

由于内部 $A^o$ 是开集的并集，由 (Top3) 可知它是开集。若 $U$ 是任意开集且满足 $U\subseteq A$，则按定义有 $U\subseteq A^o$。因此 $A^o$ 是 $A$ 的最大开子集。它的补集是闭集，而边界 $b(A)=\overline{A}\cap (X-A^o)$ 必然是闭集。

随文练习

证明集合 $A$ 是闭集当且仅当它包含其边界 $A\supseteq b(A)$

随文练习

集合 $A$ 是开的，当且仅当 $A\cap b(A)=\varnothing .$

随文练习

证明 $A$ 的所有聚点都位于边界 $b(A)$ 中

随文练习

证明：点 $x$ 属于 $A$ 的边界，当且仅当 $x$ 的每个邻域都同时包含属于 $A$ 的点和不属于 $A$ 的点。

例 10.5

开球 $B_a(\mathbf{x})\subset {\mathbb{R}}^n$ 的闭包（见例 10.1）是 闭球(closed ball)

$$\overline{B_a}(\mathbf{x})=\{\mathbf{y}||\mathbf{y}-\mathbf{x}|\le a\}.$$

由于每个开球都是开集，所以它就是自身的内部，$B_a^o(\mathbf{x})=B_a(\mathbf{x})$，而其边界是半径为 $a$、中心为 $x$ 的 $(n-1)$-球面，

$$b(B_a(\mathbf{x}))=S_a^{n-1}(\mathbf{x})=\{y\mid |\mathbf{y}-\mathbf{x}|=a\}.$$

例 10.6

若一个集合的闭包是整个空间 $X$，则称该集合在 $X.$ 中为 稠密集(dense set)。例如，由于每个实数都有任意接近 它 的有理数，有理数集合 $\mathbb{Q}$ 是一个可数集合，并且在实数集合中稠密。在更高维的情形中情况类似。坐标为有理数的点集 ${\mathbb{Q}}^n$ 是一个可数集合，并且在 ${\mathbb{R}}^n$ 中稠密。

随文练习

证明 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}.$ 中既不是开集也不是闭集

随文练习

证明 ${\mathbb{Q}}^o=\varnothing$ 与 $b(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$

有时可以比较集合 $X.$ 上的不同拓扑 ${\mathcal{O}}_1$ 与 ${\mathcal{O}}_2$。若 ${\mathcal{O}}_1\supseteq {\mathcal{O}}_2$，则称 ${\mathcal{O}}_1$ 比 ${\mathcal{O}}_2$ 是 更细的拓扑(finer topology) 或 更强的拓扑(stronger topology)。本质上，${\mathcal{O}}_1$ 比 ${\mathcal{O}}_2$ 拥有更多开集。此时我们也称 ${\mathcal{O}}_2$ 比 ${\mathcal{O}}_1$ 是 更粗的拓扑(coarser topology) 或 更弱的拓扑(weaker topology)。

例 10.7

集合 $X$ 上的所有拓扑都介于两个极端之间，即离散拓扑与不可分拓扑。不可分拓扑(indiscrete topology)（亦称平庸拓扑）仅由空集与整个空间本身 ${\mathcal{O}}_1=\{\varnothing ,X\}$ 组成。它是 $X-$ 上可能的最粗拓扑：若 $\mathcal{O}$ 是任何其他拓扑，则由 (Top1) 有 ${\mathcal{O}}_1\subseteq \mathcal{O}$。离散拓扑(discrete topology) 由 $X,{\mathcal{O}}_2=2^X$ 的所有子集组成。该拓扑是 $X,$ 上可能的最细拓扑，因为它包含所有其他拓扑 ${\mathcal{O}}_2\supseteq \mathcal{O}$。对于这两种拓扑，(Top1)–(Top3) 的验证都是平凡的。

给定一个集合 $X,$，以及任意一族子集 $\mathcal{U}$，我们可以问包含 $\mathcal{U}$ 的最弱拓扑 $\mathcal{O}(\mathcal{U})$。这个拓扑是所有包含 $\mathcal{U}$ 的拓扑的交集，称为由 $\mathcal{U}$ 生成的拓扑(generated topology)。它类似于由向量空间 $V$ 的任意子集 $M$ 生成的向量子空间 $L(M)$ 的概念（见第 3.5 节）。

定义 $\mathcal{O}(\mathcal{U})$ 的一种构造性方式如下。首先，若空集和整个空间 $X$ 尚未包含在 $\mathcal{U}$ 中，则将它们添加进去。接着，将 $\mathcal{U}$ 扩充为一个族 $\hat{\mathcal{U}}$，它由集合 $U_i\in \mathcal{U}\cup \{\varnothing ,X\}$ 的所有有限交集 $U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n$ 组成。最后，由 $\hat{\mathcal{U}}$ 中集合的任意并集组成的集合 $\mathcal{O}(\mathcal{U})$ 构成一个拓扑。为证明 (Top2)，

$$\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{a=1}^{n_i}{U}_{ia}\right)\cap \bigcup _{j\in J}\left(\bigcap _{b=1}^{n_j}{V}_{jb}\right)=\bigcup _{i\in I}\bigcup _{j\in J}\left(U_{i1}\cap \cdots \cap U_{i{n}_i}\cap V_{j1}\cap \cdots \cap V_{j{n}_j}\right).$$

性质 (Top3) 由该构造直接推出。

例 10.8

在实数轴 $\mathbb{R}$ 上，所有开区间构成的族生成标准拓扑，因为每个开集都是形如 $(x-ϵ,x+ϵ)$ 的开集的并集。类似地，${\mathbb{R}}^2$ 上的标准拓扑由开球集合生成

$$\mathcal{U}=\{B_a(\mathbf{r})|a>0,\mathbf{r}=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\}.$$

为证明该命题，我们必须证明每个作为两个开球 $B_a(\mathbf{r})$ 与 $B_b({\mathbf{r}}^{\prime })$ 的交集的集合都是来自 $\mathcal{U}$ 的开球的并集。若 $\mathbf{x}\in B_a(\mathbf{r})$，则令 $ϵ<a$ 使得 $B_{ϵ}(\mathbf{x})\subset B_a(\mathbf{r})$。类似地，若 $\mathbf{x}\in B_b({\mathbf{r}}^{\prime })$，则令 ${ϵ}^{\prime }<a$ 使得 $B_{{ϵ}^{\prime }}(\mathbf{x})\subset B_b({\mathbf{r}}^{\prime })$。因此，若 $\mathbf{x}\in B_a(\mathbf{r})\cap B_b({\mathbf{r}}^{\prime })$，则 $B_{{ϵ}^{\prime \prime }}(\mathbf{x})\subset B_a(\mathbf{r})\cap B_b({\mathbf{r}}^{\prime })$，其中 ${ϵ}^{\prime \prime }=\min (ϵ,{ϵ}^{\prime })$。该证明容易推广到任意有限个开球的交集。因此，${\mathbb{R}}^2$ 的标准拓扑由所有开球构成的集合生成。向 ${\mathbb{R}}^n$ 的推广是直接的。

随文练习

证明 $X$ 上的离散拓扑由所有单元素集 $\{x\}$ 构成的族生成，其中 $x\in X$

称集合 $A$ 为 $x\in X$ 的邻域，如果存在开集 $U$ 使得 $x\in U\subset A$。若 $A$ 本身是开集，则称它为 $x$ 的一个 开邻域(open neighbourhood)。称拓扑空间 $X$ 为 第一可数(first countable)，如果每一点 $x\in X$ 都有一个可数族 $U_1(x),U_2(x),\dots$，它由 $x$ 的开邻域组成，使得 $x$ 的每个开邻域 $U$ 都包含这些邻域之一 $U\supset U_n(x)$。一个更强的条件是：称拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 为 第二可数(second countable) 或可分的，如果存在一个可数集 $U_1,U_2,U_3,...$，它生成 $X$ 的拓扑。

例 10.9

欧几里得平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准拓扑是可分的，因为它由所有有理开球构成的集合生成，

$${\mathcal{B}}_{\text{ rat }}=\left\{B_a(\mathbf{r})\mid a>0\in \mathbb{Q},\mathbf{r}=(x,y)\text{ s.t. }x,y\in \mathbb{Q}\right\}.$$

集合 $B_{\mathrm{rat}}$ 是可数的，因为它可以与 ${\mathbb{Q}}^3$ 的一个子集建立一一对应。由于有理数在实数中稠密，开集 $U$ 的每一点 $x$ 都位于某个有理开球中。因此每个开集都是有理开球的并集。通过与例 10.8 中所用的类似论证，可以直接证明来自 $B_{\mathrm{rat}}$ 的两个集合的交集是有理开球的并集。因此 ${\mathbb{R}}^2$ 是可分的。类似地，所有满足 $n\ge 1$ 的空间 ${\mathbb{R}}^n$ 都是可分的。

设 $X$ 与 $Y$ 为两个拓扑空间。定理 10.1 引出如下定义：若每个开集 $U$ 在 $Y$ 中的原像 $f^{-1}(U)$ 在 $X$ 中均为开集，则称函数 $f:X\to Y$ 为 连续映射(continuous map)。若 $f$ 是一一的且其逆 $f^{-1}:Y\to X$ 连续，则称该函数为 同胚(homeomorphism)，并称拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 是 同胚的(homeomorphic) 或 拓扑等价(topologically equivalent)，记作 $X\cong Y$。拓扑学的主要任务是寻找 拓扑不变量(topological invariant)——在同胚下保持不变的性质。它们可以是实数、由该拓扑空间构造出的代数结构（如群或向量空间），或诸如紧致性与连通性这样的特定性质。最终目标是找到一组能够刻画一个拓扑空间的拓扑不变量。用范畴论的语言来说，见 1.7 节，连续函数是以拓扑空间为对象的范畴的态射，而同胚是该范畴的同构。

例 10.10

设 $f:X\to Y$ 为拓扑空间之间的连续函数。若 $X$ 上的拓扑是离散拓扑，则每个函数 $f$ 都连续，因为无论 $Y$ 上的拓扑如何，每个逆像集 $f^{-1}(U)$ 都是 $X$ 中的开集。类似地，若 $Y$ 上的拓扑是平凡拓扑，则函数 $f$ 总是连续的，因为开集在 $X$ 中的逆像只有 $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ 和 $f^{-1}(Y)=X$，而由 (Top1)，它们总是开集。

习题

习题 10.1

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中给出下列各项的一个例子：

(a) 一族开集，其交集是一个非开的闭集。

(b) 一族闭集，其并集是一个开集，且该开集不是闭集。

(c) 一个既不开也不闭的集合。

(d) 可数稠密集。

(e) 一个连续函数序列 $f_n:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$，其极限为不连续函数

习题 10.2

若 $\mathcal{U}$ 生成 $X$ 上的拓扑，证明 $\{A\cap U\mid U\in \mathcal{U}\}$ 生成 $A$ 上的相对拓扑。

习题 10.3

设 $X$ 为一个拓扑空间，且 $A\subset B\subset X$。若给 $B$ 赋予相对拓扑，证明由 $B$ 在 $A$ 上诱导的相对拓扑与由 $X$ 在其上诱导的相对拓扑相同。

习题 10.4

证明：对于拓扑空间 $\overline{U\cup V}=\overline{U}\cup \overline{V}.$ 的任意子集 $U$、$V$，是否有 $\overline{U\cap V}=\overline{U}\cap \overline{V}?$？对于集合的并集与交集的内部和边界，相应的命题是什么？

习题 10.5

若 $A$ 是拓扑空间 $X$ 中的稠密集，且 $U\subseteq X$ 是开集，证明 $U\subseteq \overline{A\cap U}$

习题 10.6

证明：两个拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 之间的映射 $f:X\to Y$ 连续，当且仅当对所有集合 $U\subseteq X.$ 均有 $f(\overline{U})\subseteq \overline{f(U)}$。证明：$f$ 是同胚，仅当对所有集合 $U\subseteq X$ 均有 $f(\overline{U})=\overline{f(U)}$。

习题 10.7

证明以下结论：

(a) 在平凡拓扑中，每个序列 $x_n$ 都收敛到空间 $x\in X.$ 的每一点。

(b) 在 $R^2$ 中，由所有以原点 $B_r(0)$ 为中心的开球组成的开集族是一个拓扑。任何序列 ${\mathbf{x}}_n\to \mathbf{x}$ 都收敛到以原点为中心、半径为 $|\mathbf{x}|$ 的圆上的所有点。

(c) 若 $C$ 是拓扑空间 $X$ 的闭集，则它包含序列 $x_n\in C$ 的所有极限点

(d) 设 $f:X\to Y$ 为拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 之间的连续函数。若 $x_n\to x$ 是 $X$ 中的任一收敛序列，则 $f(x_n)\to f(x)$ 在 $Y$ 中。

习题 10.8

若 $W$、$X$ 与 $Y$ 均为拓扑空间，且函数 $f:W\to X,g:X\to Y$ 均连续，则证明函数 $h=g\circ f:W\to Y$ 连续。