迄今为止，我们几乎完全集中于代数结构在数学物理中的作用。偶尔，如上一章那样，有必要使用一些微分计算，但这并未以任何系统的方式进行。连续性和可微性等概念是数学中称为分析这一领域的核心，它们在本质上属于几何性质，并且需要借助拓扑学才能给出严格定义。广义地说，拓扑是施加在一个集合上的结构，用以定义序列或子集的收敛与极限。一个在其上定义了拓扑的空间将被称为拓扑空间，而拓扑空间之间的连续映射本质上就是保持子集极限点的映射。处理这一主题的最一般方法最终是通过开集的概念。
考虑嵌入欧几里得三维空间 中的二维曲面 。在此情形下，我们对曲面的“连续形变”有一种直观的理解，即曲面的一个不涉及任何撕裂或粘贴的变换。拓扑学基本上研究那些在曲面连续形变下不变的性质。度量性质对于连续性的概念并非本质的，并且由于诸如“拉伸”之类的操作是允许的，拓扑学有时被称为“橡皮膜几何学”。在本章中，我们还将定义度量空间的概念。这样的空间总是有一个自然定义的拓扑与之相伴，但反之一般并不成立——完全可以在一个空间上定义拓扑而不在该空间上定义距离的概念。
本章目录
概念索引
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10.1 欧几里得拓扑
10.2 一般拓扑空间
- 拓扑topology
- 拓扑空间topological space
- 标准拓扑standard topology
- 闭集closed set
- 相对拓扑relative topology
- 子空间subspace
- 聚点accumulation point
- 聚点cluster point
- 极限点limit point
- 闭包closure
- 内部interior
- 边界boundary
- 闭球closed ball
- 稠密集dense set
- 更细的拓扑finer topology
- 更强的拓扑stronger topology
- 更粗的拓扑coarser topology
- 更弱的拓扑weaker topology
- 不可分拓扑indiscrete topology
- 离散拓扑discrete topology
- 生成的拓扑generated topology
- 开邻域open neighbourhood
- 第一可数first countable
- 第二可数second countable
- 连续映射continuous map
- 同胚homeomorphism
- 同胚的homeomorphic
- 拓扑等价topologically equivalent
- 拓扑不变量topological invariant
10.3 度量空间
- 度量空间metric space
- 度量metric
- 三角不等式triangle inequality
- 度量拓扑metric topology
- 柯西序列Cauchy sequence
- 完备度量空间complete metric space
- 正规空间normal space
10.4 诱导拓扑
- 诱导拓扑induced topology
- 积拓扑product topology
- 拓扑积topological product
- 环面torus
- 粘合拓扑identification topology
- 实射影平面real projective plane
- 实射影空间real projective space
10.5 豪斯多夫空间
10.6 紧致空间
10.7 连通空间
10.8 拓扑群
- 拓扑群topological group
- 离散群discrete group
- 拓扑子群topological subgroup
- 闭子群closed subgroup
- 单位元分支component of the identity
- 局部连通locally connected
- 开映射open map
- 分支群group of components