10.6 紧致空间

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称集合族 $\mathcal{U}=\{U_i|i\in I\}$ 为拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 的一个 覆盖(covering)，如果每一点 $x\in A$ 都属于该集合族中的某个成员。若其中每个成员都是开集，则称之为 开覆盖(open covering)。该覆盖的一个子集 ${\mathcal{U}}^{\prime }\subseteq \mathcal{U}$ 若覆盖 $A$，则称为 子覆盖(subcovering)。若 ${\mathcal{U}}^{\prime }$ 由有限多个集合 $\left\{U_1,U_2,\dots ,U_n\right\}$ 组成，则称之为 有限子覆盖(finite subcovering)。

拓扑空间 $(X,\mathcal{O})$ 称为 紧致空间(compact space)，如果 $X$ 的每个开覆盖都包含一个有限子覆盖。这一定义的动机在于以下定理，其证明可在标准分析学著作中找到 [10–12]。

定理 10.8 · 海涅–博雷尔定理 (Heine–Borel theorem)

（海涅–博雷尔）${\mathbb{R}}^n$ 的子集 $A$ 是闭且有界的（包含于一个中心球 $A\subset B_a(0)$ 中，对某个 $a>0)$ 而言），当且仅当 $A$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖。

定理 10.9 · 紧空间的闭子空间 (Closed subspaces of compact spaces)

紧致空间 $X$ 的每个闭子空间 $A$ 在相对拓扑中都是紧致的。

证明

设 $\mathcal{U}$ 为 $A$ 的任一由相对拓扑中的开集构成的覆盖。该覆盖的每个成员必具有形式 $U\cap A,$，其中 $U$ 是 $Y$ 中的开集。集合 $\{U\}$ 连同开集 $X-A$ 构成 $X$ 的一个开覆盖，由 $X$ 的紧致性，该覆盖必有有限子覆盖 $\{U_1,U_2,\dots ,U_n,X-A\}$。因此，集合 $\{U_1\cap A,\dots ,U_n\cap A\}$ 是 $A$ 的原开覆盖的有限子族。故 $A$ 在相对拓扑中是紧致的。

定理 10.10 · 紧集的连续像 (Continuous images of compact sets)

若 $f:X\to Y$ 是从紧致拓扑空间 $X$ 到拓扑空间 $Y$ 的连续映射，则像集 $f(X)\subseteq Y$ 在相对拓扑中是紧致的。

证明

设 $\mathcal{U}$ 为 $f(X)$ 的任一覆盖，且完全由相对拓扑中的开集组成。该覆盖的每个成员都具有形式 $U\cap f(X)$，其中 $U$ 是 $Y$ 中的开集。由于 $f$ 连续，集合 $f^{-1}(U)$ 构成 $X$ 的一个开覆盖。由 $X$ 的紧致性，有限子族 $\{f^{-1}(U_i)|i=1,\dots ,n\}$ 足以覆盖 $X$，而相应的集合 $U_i\cap f(X)$ 显然构成 $f(X)$ 的一个有限子覆盖

因此，紧致性是一种拓扑性质，在同胚下保持不变。

例 10.16

若 $E$ 是紧致拓扑空间 $X$ 上的等价关系，则映射 $i_E:X\to X/E$ 在由 $X$ 经粘合得到的 $X/E$ 上的拓扑中连续。由定理 10.10，拓扑空间 $X/E$ 是紧致的。例如，通过将 ${\mathbb{R}}^2$ 中闭且紧致的单位正方形的对边粘合而形成的环面 $T^2$ 是紧致空间。

定理 10.11 · 有限积空间的紧性 (Compactness of finite products)

拓扑积 $X\times Y$ 是紧致的，当且仅当 $X$ 和 $Y$ 都是紧致的。

证明

若 $X\times Y$ 是紧致的，则由定理 10.10 可知 $X$ 与 $Y$ 都是紧致的，因为在积拓扑中投影映射 ${\mathrm{pr}}_1:X\times Y\to X$ 与 ${\mathrm{pr}}_2:X\times Y\to Y$ 均连续。

反之，假设 $X$ 与 $Y$ 是紧致的。设 $\mathcal{W}=\{W_i|i\in I\}$ 为 $X\times Y$ 的一个开覆盖。由于每个集合 $W_i$ 都是形如 $U\times V$ 的集合的并集，其中 $U$ 与 $V$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的开集，所以所有这样的集合 $U_j\times V_j(j\in J)$（它们对某个 $i\in I$ 是 $W_i$ 的子集）构成的集合族是 $X\times Y$ 的一个开覆盖。给定任意点 $y\in Y$，所有使得 $y\in V_j$ 的 $U_j$ 构成的集合是 $X$ 的一个开覆盖，并且由于 $X$ 是紧致的，存在一个有限子覆盖 $\{U_{j_1},U_{j_2},\dots ,U_{j_n}\}$。集合 $A_y=V_{j_1}\cap V_{j_2}\cap \cdot \cdot \cdot \cap V_{j_n}$ 由条件 (Top2) 是 $Y$ 中的开集，并且 $y\in A_y$，因为对每个 $k=1,\dots ,n$ 都有 $y\in V_{j_k}$。因此，集合族 $\{A_y|y\in Y\}$ 构成 $Y$ 的一个开覆盖。由于 $Y$ 是紧致的，存在一个有限子覆盖 $A_{y_1},A_{y_2},\dots ,A_{y_m}$。与这些集合 $A_{y_a}$ 相关联的所有集合 $U_{j_k}\times V_{j_k}$ 的总体构成 $X\times Y$ 的一个有限开覆盖。对每个这样的集合，选取原覆盖中作为其子集的一个对应成员 $W_i$。结果得到 $X\times Y,$ 的一个有限子覆盖，从而证明 $X\times Y$ 是紧致的。

令人有些意外的是，该命题可推广至任意无限乘积（季霍诺夫定理）。有兴趣的读者可参阅 [8] 或 [2] 以获取这一更难结果的证明。

定理 10.12 · 紧空间中无限集的聚点 (Accumulation points of infinite subsets of compact spaces)

紧致拓扑空间的每个无限子集都有聚点。

证明

设 $X$ 是紧致拓扑空间，且 $A\subset X$ 没有聚点。目标是证明 $A$ 是有限集。由于 $x\in A-X$ 中每一点都有一个开邻域 $U_x$，使得 $U_x\cap A=\varnothing$，因此 $A\subseteq X$ 是闭集，因为其补集 $\begin{array}{r}A-X={\bigcup }_{x\in X-A}{U}_x\end{array}$ 是开集。于是，由定理 10.9，$A$ 是紧致的。由于每一点 $a\in A$ 都不是聚点，存在 $a$ 的开邻域 $U_a$，使得 $U_a\cap A=\{a\}$。因此每个单元素集 $\{a\}$ 都是 $A$ 上诱导的相对拓扑中的开集，从而 $A$ 上的相对拓扑是离散拓扑。因此单元素集 $\{a\mid a\in A\}$ 构成 $A$ 的一个开覆盖，并且由于 $A$ 是紧致的，必定存在有限子覆盖 $\{a_1\},\{a_2\},\dots ,\{a_n\}$。因此 $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ 是有限集。

定理 10.13 · 豪斯多夫空间中的紧子集为闭集 (Compact subsets of Hausdorff spaces are closed)

豪斯多夫空间的每个紧致子空间都是闭的

证明

设 $X$ 为豪斯多夫空间，$A$ 为相对拓扑中的紧致子空间。若 $a\in A$ 且 $x\in X-A$，则存在不相交的开集 $U_a$ 与 $V_a$，使得 $a\in U_a$ 且 $x\in V_a$。开集族 $U_a\cap A$ 是 $A$ 在相对拓扑中的开覆盖。由于 $A$ 是紧致的，故存在有限子覆盖 $\{U_{a_1}\cap A,\dots ,U_{a_n}\cap A\}$。相应的邻域 $W=V_{a_1}\cap \cdots \cap V_{a_n}$ 的交集是一个包含 $x$ 的开集。由于其所有点都在每个 $U_{a_i}\cap A$ 之外，我们有 $W\cap A=\varnothing .$。因此每一点 $x\in X-A$ 都有一个不含 $A$ 中点的开邻域。于是 $A$ 包含其所有聚点，因而必为闭集。

在度量空间 $(M,d)$ 中，若 $\sup \{d(x,y)\mid x,y\in A\}<\infty$，则称子集 $A$ 为 有界集(bounded set)。

定理 10.14 · 度量空间中的紧子集闭且有界 (Compact subsets of metric spaces are closed and bounded)

度量空间的每个紧致子空间都是闭的且有界的。

证明

设 $A$ 是度量空间 $(M,d)$ 的紧致子空间。由于根据定理 10.4，$M$ 是 豪斯多夫 空间，故由前一定理可知 $A$ 是闭集。设 $\mathcal{U}=\{B_1(a)\cap A\mid a\in A\}$ 为 $A$ 的开覆盖，它由 $A$ 与以 $A$ 中的点为中心的单位开球的交集组成。由于 $A$ 是紧致的，可以选出有限个这样的开球 $\{B_1(a_1),B_1(a_2),\dots ,B_1(a_n)\}$ 覆盖 $A$。设这些点中任意一对之间的最大距离为 $D=\max d(a_i,a_j)$。对于任意一对点 $a$、$b\in A,$，若 $a\in B_1(a_k)$ 且 $b\in B_1(a_l)$，则由三角不等式

$$d(a,b)\le d(a,a_i)+d(a_i,a_j)+\cdots +d(a_j,b)\le D+2.$$

因此，$A$ 是一个有界集。

习题

习题 10.16

证明每个紧致豪斯多夫空间都是正规的（见问题10.11）。

习题 10.17

证明：从紧致空间 $X$ 到豪斯多夫空间 $Y$ 的每一个单射连续映射 $f:X\to Y$ 都是同胚。