8.8 轨形

设 $M$ 是一个流形，$G$ 是作用在 $M$ 上的离散群。则商空间 $\Gamma \equiv M/G$ 称为轨形(orbifold)。正如我们后面将会看到的，$M$ 中存在在 $G$ 的作用下不变的不动点。这些点是奇异的，因此轨形一般并不是流形。于是，尽管我们从一个简单的流形 $M$ 出发，轨形 $M/G$ 却可能具有相当复杂的拓扑。

8.8.1 一维例子

为了获得一个具体的印象，让我们考虑一个简单的例子。取 $M={\mathbb{R}}^2$，并将它与复平面 $\mathbb{C}$ 等同起来。取 $G={\mathbb{Z}}_3$，并把点 $z$、${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/3}z$ 与 ${\mathrm{e}}^{4\pi \mathrm{i}/3}z$ 等同起来。于是轨形 $M/G$ 就是复平面的三分之一，

复平面，把各条边等同之后，我们便得到一个锥面，如图 8.6所示。考察这个轨形的和乐群是很有意思的。我们采用由 $\mathbb{C}$ 的欧氏度量诱导的平坦联络。于是，把向量 $V$ 沿回路 $C$ 作平行移动（这确实是一条回路！）之后，我们得到向量 $\tilde{V}$，它在等同之后与 $V$ 不同。注意 $V$ 与 $\tilde{V}$ 之间的夹角为 $2\pi /3$。容易验证，和乐群为 ${\mathbb{Z}}_3$。由于对于不环绕原点的回路 $C_0$，和乐是平凡的，我们发现曲率在原点处是奇异的（回忆一下，曲率衡量和乐的非平凡性，见7.3 节）。一般地，不动点（在目前的情形中即原点）是曲率的奇点。不过要注意，$\mathbb{C}/{\mathbb{Z}}_3$ 是一个流形，因为它有一个同胚于 ${\mathbb{R}}^2$ 的开覆盖。

图 8.6. 轨形 $\mathbb{C}/{\mathbb{Z}}_3$ 是复平面的三分之一。轨形的各条边按图中所示的方式等同。向量 $V$ 沿 $C$ 作平行移动后成为向量 $\tilde{V}$。$V$ 与 $\tilde{V}$ 之间的夹角为 $2\pi /3$。

一个不那么平凡的例子是把环面取作流形。我们在复平面中把点 $z$ 与 $z+m+n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}$ $(m,n\in \mathbb{Z})$ 等同起来，见图 8.7(a)。如果把平行四边形 OPQR 的各条边等同起来，就得到环面 $T^2$。让 ${\mathbb{Z}}_3$ 按 $\alpha :z\mapsto {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/3}z$ 作用于 $T^2$。我们发现有三个互不等价的不动点 $z=(n/\sqrt{3}){\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}/6}$，其中 $n=0,1$ 和 2。这个轨形 $\Gamma =\mathbb{C}/{\mathbb{Z}}_3$ 由围绕一个空洞的两个三角形构成，见图 8.7(b)。如果用由环面的平坦度量诱导的平坦联络来定义向量的平行移动，我们就会发现，绕每个不动点的和乐都是 ${\mathbb{Z}}_3$。

图 8.7. 在 ${\mathbb{Z}}_3$ 的作用下，环面 $T^2$ 上的点被等同起来。阴影区域就是轨形 $\Gamma =T^2/{\mathbb{Z}}_3$。如果把轨形的各条边等同起来，最终就得到图 8.7(b)中的对象，它与球面 $S^2$ 同胚。

8.8.2 三维例子

具有三个复维的轨形曾被提议作为超弦紧化的候选者。这一课题的详细处理超出了本书的范围，读者应参阅 Dixson 等（1985，1986）以及 Green 等（1987）。

设 $T={\mathbb{C}}^3/L$ 是一个三维复环面(complex torus)，其中 $L$ 是 ${\mathbb{C}}^3$ 中的一个格。为确定起见，设 $(z_1,z_2,z_3)$ 为 ${\mathbb{C}}^3$ 的坐标，并把 $z_i$ 与 $z_i+m+n{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}/3}$ 等同起来。在这一等同之下，$T$ 被等同于三个环面的乘积 $T=T_1\times T_2\times T_3$。和前面一样，$T$ 容许 ${\mathbb{Z}}_3$ 的作用，该作用由

由 $\alpha :z_i\mapsto {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/3}{z}_i$ 给出。若每个 $z_i$ 取 0、$(1/\sqrt{3}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6}$、$(2/\sqrt{3}){\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}/6}$ 之一，则 $\alpha$ 的作用使点 $(z_i)$ 保持不变。因此，该轨形中共有 $3^3=27$ 个不动点。在目前的情形下，这个不动点是一个锥形奇点（图 8.8），因而该轨形不可能是流形。[注记：锥形奇点的出现可以借助一个更简单的例子来更容易地理解。设 $(x,y)\in {\mathbb{C}}^2$，并让 ${\mathbb{Z}}_2$ 以 $(x,y)\mapsto \pm (x,y)$ 的方式作用于 ${\mathbb{C}}^2$。于是轨形 $\Gamma ={\mathbb{C}}^2/{\mathbb{Z}}_2$ 在原点处有一个锥形奇点。事实上，设 $[(x,y)]\to (x^2,xy,y^2)\equiv (X,Y,Z)$ 是 $\Gamma$ 到 ${\mathbb{C}}^3$ 的一个嵌入。注意 $X,Y$ 与 $Z$ 满足关系 $Y^2=XZ$。若把 $X,Y$ 与 $Z$ 看作实变量，这不过是一个锥的方程。]

图 8.8. 锥形奇点。原点看起来既不像 ${\mathbb{R}}^n$，也不像 ${\mathbb{C}}^n$。

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