平行移动 (parallel transport)

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已登记出处中的最早位置：§18.1 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§18.1 · zh-CN · translation · unreviewed

由微分方程的存在唯一性定理，对 $p$ 处的任意切向量 $Y_p$，存在唯一一个沿 $\gamma \cap U$ 平行的向量场 $Y(t)$，使得 $Y(a)=Y_p$。曲线段是紧集，可被有限个图卡覆盖，因此存在唯一性可延拓到整条曲线 $a\le t\le b$ 上。此外，由于微分方程是线性的，满足 $P_t(Y_p)=Y(t)$ 的映射 $P_t:T_p(M)\to T_{\gamma (t)}(M)$ 是线性映射，称为沿 $\gamma$ 从 $p=\gamma (a)$ 到 $\gamma (t)$ 的 平行移动(parallel transport)。由于通过将参数变为 $t^{\prime }=-t$ 可将平行移动映射反转，映射 $P_t$ 是一对一的，因而必是线性同构。

§18.1 · en · original_transcription · unreviewed

By the existence and uniqueness theorem of differential equations, for any tangent vector $Y_p$ at $p$ there exists a unique vector field $Y(t)$ parallel along $\gamma \cap U$ such that $Y(a)=Y_p$ The curve segment is a compact set and can be covered by a finite family of charts, so that existence and uniqueness extends over the entire curve $a\le t\le b$ . Furthermore, as the differential equations are linear the map $P_t:T_p(M)\to T_{\gamma (t)}(M)$ such that $P_t(Y_p)=Y(t)$ is a linear map, called parallel transport along $\gamma$ from $p=\gamma (a)$ to $\gamma (t)$ . Since the parallel transport map can be reversed by changing the parameter to $t^{\prime }=-t$ , the map $P_t$ is one-to one and must be a linear isomorphism.

来源覆盖、定位与记录

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