直积 (direct product)

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来源短摘录与定位

§2.5 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.22

设$G$和$H$分别为两个具有恒等元$e_G$和$e_H$的群。可以在笛卡尔积$G\times H$上定义一个合成律，即

$$(g,h)\left(g^{\prime },h^{\prime }\right)=\left(g{g}^{\prime },h{h}^{\prime }\right)$$

这个乘积显然满足结合律，并且具有恒等元$\left(e_G,e_H\right)$。此外，每个元素都有唯一的逆元$(g,h{)}^{-1}=\left(g^{-1},h^{-1}\right)$。因此，由于这个组合律，$G\times H$是一个称为$G$和$H$的直积(direct product)的群。显然，群$G$与子群$\left(G,e_H\right)=\left\{\left(g,e_H\right)\mid g\in G\right\}$是同构的。后者是一个正规子群，因为

$$(a,b)\left(G,e_H\right)\left(a^{-1},b^{-1}\right)=\left(aG{a}^{-1},b{e}_H{b}^{-1}\right)=\left(G,e_H\right)$$

通常将元素$\left(G,e_H\right)$的子群与群$G$认为是相同的。类似地，$H$被认为与正规子群$\left(e_G,H\right)$等同。

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