10.2 和乐

10.2.1 定义

设 $P(M,G)$ 为主丛，$\gamma :[0,1]\to M$ 为一条曲线，它经过 $u_0\in {\pi }^{-1}(\gamma (0))$ 的水平提升为 $\tilde{\gamma }$。上一节中我们定义了一个映射 $\Gamma (\tilde{\gamma }):{\pi }^{-1}(\gamma (0))\to {\pi }^{-1}(\gamma (1))$，它把点 $u_0=\tilde{\gamma }(0)$ 映为 $u_1=\tilde{\gamma }(1)$。现在考虑两条曲线 $\alpha ,\beta :[0,1]\to M$，满足 $\alpha (0)=\beta (0)=p_0$ 且 $\alpha (1)=\beta (1)=p_1$。取 $\alpha$ 与 $\beta$ 的水平提升 $\tilde{\alpha }$ 与 $\tilde{\beta }$，使得 $\tilde{\alpha }(0)=\tilde{\beta }(0)=u_0$。此时 $\tilde{\alpha }(1)$ 未必等于 $\tilde{\beta }(1)$。这说明，若考虑以 $p=\gamma (0)=\gamma (1)$ 为基点的环路 $\gamma :[0,1]\to M$，一般有 $\tilde{\gamma }(0)\ne \tilde{\gamma }(1)$。环路 $\gamma$ 在纤维上定义了一个变换 ${\tau }_{\gamma }:{\pi }^{-1}(p)\to {\pi }^{-1}(p)$。该变换与群的右作用相容，

$${\tau }_{\gamma }(ug)={\tau }_{\gamma }(u)g\text{\hspace{1em}(10.21)}$$

这可由(10.18)直接推出。我们注意到，${\tau }_{\gamma }$ 不仅依赖于环路 $\gamma$，还依赖于联络。

例 10.3

考虑 $M={\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 上的一个 $\mathbb{R}$-丛。联络1-形式 $\omega$ 与 例 10.2 中的环路 $\gamma$ 定义了一个映射 ${\tau }_{\gamma }:{\pi }^{-1}((1,0))\to {\pi }^{-1}((1,0))$，它由 $g\mapsto g+2\pi$（$g\in \mathbb{R}$）给出。

取一点 $u\in P$，满足 $\pi (u)=p$，并考虑 $p$ 处的环路之集 $C_p(M)$；$C_p(M)\equiv \{\gamma :[0,1]\to M|\gamma (0)=\gamma (1)=p\}$。元素

$${\Phi }_u\equiv \{g\in G|{\tau }_{\gamma }(u)=ug,\gamma \in C_p(M)\}\text{\hspace{1em}(10.22)}$$

构成的集合是结构群 $G$ 的一个子群，称为 $u$ 处的和乐群(holonomy group)。${\Phi }_u$ 的群性质可由练习 10.3容易地推出。若 $\alpha ,\beta$ 与 $\gamma =\alpha \ast \beta$ 是 $p$ 处的环路，则有 ${\tau }_{\gamma }={\tau }_{\beta }\circ {\tau }_{\alpha }$，从而

$${\tau }_{\gamma }(u)={\tau }_{\beta }\circ {\tau }_{\alpha }(u)={\tau }_{\beta }(u{g}_{\alpha })={\tau }_{\beta }(u)g_{\alpha }=u{g}_{\beta }{g}_{\alpha }$$

其中 ${\tau }_{\alpha }(u)=u{g}_{\alpha }$ 等等。这表明

$$g_{\gamma }=g_{\beta }{g}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(10.23)}$$

常值环路 $c:[0,1]\mapsto p$ 定义了恒等变换 ${\tau }_c:u\mapsto u$。$\gamma$ 的逆环路 ${\gamma }^{-1}$ 诱导出逆变换 ${\tau }_{{\gamma }^{-1}}={\tau }_{\gamma }^{-1}$，从而 $g_{{\gamma }^{-1}}=g_{\gamma }^{-1}$。

练习 10.5

(a) 设 ${\tau }_{\alpha }(u)=u{g}_{\alpha }$。证明

$${\tau }_{\alpha }(ug)=ug\left({\mathrm{ad}}_g{g}_{\alpha }\right)=ug\left(g^{-1}{g}_{\alpha }g\right).\text{\hspace{1em}(10.24)}$$

验证

$${\Phi }_{ua}\cong a^{-1}{\Phi }_{u}a.\text{\hspace{1em}(10.25)}$$

(b) 设 $u,u^{\prime }\in P$ 是同一条水平提升 $\tilde{\gamma }$ 上的点。证明 ${\Phi }_u\cong {\Phi }_{u^{\prime }}$。
(c) 设 $M$ 连通。证明所有 ${\Phi }_u$ 彼此同构。

练习 10.6

设 ${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }$ 是 $U_i$ 上的规范势，$\gamma$ 是 $U_i$ 中的环路。设 ${\tau }_{\gamma }(u)=u{g}_{\gamma }$，$u\in P$，$g_{\gamma }\in G$。利用(10.14)证明

$$g_{\gamma }=\mathcal{P}\exp \left(-{\oint }_{\gamma }{\mathcal{A}}_{i\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\right).\text{\hspace{1em}(10.26)}$$

设 $C_p^0(M)$ 表示 $p$ 处与 $p$ 处的常值环路同伦的环路之集。群

$${\Phi }_u^0\equiv \left\{g\in G\mid {\tau }_{\gamma }(u)=ug,\gamma \in C_p^0(M)\right\}\text{\hspace{1em}(10.27)}$$

称为限制和乐群。

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