7.8 非坐标基

7.8.1 定义

在坐标基中，$T_{p}M$ 由 $\{e_{\mu }\}=\{\partial /\partial x^{\mu }\}$ 张成，$T_p^{\ast }M$ 由 $\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$ 张成。此外，若 $M$ 上还赋予了一个度量 $g$，则可能存在另一种选择。让我们考虑如下线性组合：

$${\hat{e}}_{\alpha }=e_{\alpha }^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\{e_{\alpha }^{\mu }\}\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})\text{\hspace{1em}(7.131)}$$

其中 $\det e_{\alpha }^{\mu }>0$。换言之，$\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 是对基 $\{e_{\mu }\}$ 作 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 旋转（保持定向不变）后得到的标架，它由基向量构成。我们要求 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 关于 $g$ 是正交归一的，

$$g\left({\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta }\right)=e_{\alpha }^{\mu }{e}_{\beta }^v{g}_{\mu v}={\delta }_{\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(7.132a)}$$

若流形是洛伦兹的，则 ${\delta }_{\alpha \beta }$ 应换成 ${\eta }_{\alpha \beta }$。我们很容易把 (7.132a) 反解出来，

$$g_{\mu v}=e_{\mu }^{\alpha }{e}_v^{\beta }{\delta }_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(7.132b)}$$

其中 $e^{\alpha }{}_{\mu }$ 是 $e_{\alpha }^{\mu }$ 的逆矩阵；$e^{\alpha }{}_{\mu }{e}_{\alpha }^{\nu }={\delta }_{\mu }^{\nu }$，$e^{\alpha }{}_{\mu }{e}_{\beta }^{\mu }={\delta }^{\alpha }{}_{\beta }$。[我们对矩阵及其逆矩阵使用了相同的符号。只要把指标明确写出，就不会引起混淆。]由于向量 $V$ 与所选基无关，我们有 $V=V^{\mu }{e}_{\mu }=V^{\alpha }{\hat{e}}_{\alpha }=V^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }{e}_{\mu }$。由此可得

$$V^{\mu }=V^{\alpha }{e}_{\alpha }^{\mu }{V}^{\alpha }=e_{\mu }^{\alpha }{V}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(7.133)}$$

下面引入由 $⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\hat{e}}_{\beta }⟩={\delta }_{\beta }^{\alpha }$ 定义的对偶基(dual basis) $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$。${\hat{\theta }}^{\alpha }$ 由下式给出

$${\hat{\theta }}^{\alpha }=e_{\mu }^{\alpha }\mathrm{d}{x}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(7.134)}$$

用 $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$ 表示，度量为

$$g=g_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }={\delta }_{\alpha \beta }{\hat{\theta }}^{\alpha }\otimes {\hat{\theta }}^{\beta }.\text{\hspace{1em}(7.135)}$$

基 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 与 $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$ 称为非坐标基(non-coordinate basis)。我们用 $\kappa ,\lambda ,\mu ,\nu ,\dots$（$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\dots$）表示坐标基（非坐标基）。若空间是四维的，系数 $e_{\alpha }^{\mu }$ 称为四元标架(vierbein)；若空间是多维的，则称为多元标架(vielbein)。非坐标基的李括号不为零。若 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 由 (7.131) 给出，则它们满足

$${\left[{\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta }\right]|}_p=c_{\alpha \beta }^{\gamma }(p){\hat{e}}_{\gamma }{|}_p\text{\hspace{1em}(7.136a)}$$

其中

$$c_{\alpha \beta }^{\gamma }(p)=e_v^{\gamma }\left[e_{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }{e}_{\beta }^v-e_{\beta }^{\mu }{\partial }_{\mu }{e}_{\alpha }^v\right](p).\text{\hspace{1em}(7.136b)}$$

例 7.13

$S^2$ 上的标准度量为

$$g=\mathrm{d}\theta \otimes \mathrm{d}\theta +{\sin }^2\theta \mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi ={\hat{\theta }}^1\otimes {\hat{\theta }}^1+{\hat{\theta }}^2\otimes {\hat{\theta }}^2\text{\hspace{1em}(7.137)}$$

其中 ${\hat{\theta }}^1=\mathrm{d}\theta$，${\hat{\theta }}^2=\sin \theta \mathrm{d}\varphi$。这里的“二元标架”为

$$\begin{array}{rl}& e_{\theta }^1=1e_{\varphi }^1=0\\ & e_{\theta }^2=0e_{\varphi }^2=\sin \theta .\end{array}\text{\hspace{1em}(7.138)}$$

$c_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 的非零分量为 $c_{12}^2=-c_{21}^2=-\cot \theta$

练习 7.19

(a) 验证下列恒等式：

$${\delta }^{\alpha \beta }=g^{\mu \nu }{e}_{\mu }^{\alpha }{e}_{\nu }^{\beta },g^{\mu \nu }={\delta }^{\alpha \beta }{e}_{\alpha }^{\mu }{e}_{\beta }^{\nu }.\text{\hspace{1em}(7.139)}$$

(b) 设 ${\gamma }^{\alpha }$ 为闵可夫斯基时空中的狄拉克矩阵，它们满足 $\{{\gamma }^{\alpha },{\gamma }^{\beta }\}=2{\eta }^{\alpha \beta }$。用 ${\gamma }^{\mu }\equiv e_{\alpha }^{\mu }{\gamma }^{\alpha }$ 定义狄拉克矩阵在弯曲时空中的对应物。证明

$$\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^v\right\}=2g^{\mu v}.\text{\hspace{1em}(7.140)}$$

7.8.2 嘉当结构方程

在7.3 节中，已经定义了曲率张量$R$与挠率张量$T$如下：

$$\begin{array}{rl}& R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z\\ & T(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y].\end{array}$$

设$\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$为非坐标基，$\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$为其对偶基。这些向量场$\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$满足$[{\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta }]=c_{\alpha \beta }{}^{\gamma }{\hat{e}}_{\gamma }$。用基$\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$定义联络系数(connection coefficient)如下：

$${\nabla }_{\alpha }{\hat{e}}_{\beta }\equiv {\nabla }_{{\hat{e}}_{\alpha }}{\hat{e}}_{\beta }={\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat{e}}_{\gamma }.\text{\hspace{1em}(7.141)}$$

令${\hat{e}}_{\alpha }=e_{\alpha }^{\mu }{e}_{\mu }$，则(7.141)化为$e_{\alpha }^{\mu }({\partial }_{\mu }{e}_{\beta }{}^{\nu }+e_{\beta }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^v)e_{\nu }={\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }{e}_{\gamma }{}^{\nu }{e}_{\nu }$，由此可得

$${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }=e_v^{\gamma }{e}_{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }{e}_{\beta }^v+e_{\beta }^{\lambda }{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\nu }\right)=e_v^{\gamma }{e}_{\alpha }^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\beta }^v.\text{\hspace{1em}(7.142)}$$

$T$与$R$在该基下的分量由下式给出：

$$\begin{array}{rl}{T}_{\beta \gamma }^{\alpha }& =⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },T({\hat{e}}_{\beta },{\hat{e}}_{\gamma })⟩=⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\nabla }_{\beta }{\hat{e}}_{\gamma }-{\nabla }_{\gamma }{\hat{e}}_{\beta }-[{\hat{e}}_{\beta },{\hat{e}}_{\gamma }]⟩\\ & ={\Gamma }_{\beta \gamma }^{\alpha }-{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\alpha }-c_{\beta \gamma }^{\alpha }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.143)}$$

$$\begin{array}{rl}{R}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }& =⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\nabla }_{\gamma }{\nabla }_{\delta }{\hat{e}}_{\beta }-{\nabla }_{\delta }{\nabla }_{\gamma }{\hat{e}}_{\beta }-{\nabla }_{[{\hat{e}}_{\gamma },{\hat{e}}_{\delta }]}{\hat{e}}_{\beta }⟩\\ & =⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\nabla }_{\gamma }({\Gamma }_{\delta \beta }^{\epsilon }{\hat{e}}_{\epsilon })-{\nabla }_{\delta }{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\epsilon }{\hat{e}}_{\epsilon })-c_{\gamma \delta }^{\epsilon }{\nabla }_{\epsilon }{\hat{e}}_{\beta }⟩\\ & ={\hat{e}}_{\gamma }\left[{\Gamma }_{\delta \beta }^{\alpha }\right]-{\hat{e}}_{\delta }\left[{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\alpha }\right]+{\Gamma }_{\delta \beta }^{\epsilon }{\Gamma }_{\gamma \epsilon }^{\alpha }-{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\epsilon }{\Gamma }_{\delta \epsilon }^{\alpha }-c_{\gamma \delta }^{\epsilon }{\Gamma }_{\epsilon \beta }^{\alpha }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.144)}$$

我们定义矩阵值的一形式 $\{{\omega }_{\beta }^{\alpha }\}$，称之为联络1-形式(connection one-form)：

$${\omega }_{\beta }^{\alpha }\equiv {\Gamma }_{\gamma \beta }^{\alpha }{\hat{\theta }}^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(7.145)}$$

定理 7.3

联络1-形式 ${\omega }_{\beta }^{\alpha }$ 满足嘉当结构方程：

$$\mathrm{d}{\hat{\theta }}^{\alpha }+{\omega }_{\beta }^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=T^{\alpha }\text{\hspace{1em}(7.146a)}$$

$$\mathrm{d}{\omega }_{\beta }^{\alpha }+{\omega }_{\gamma }^{\alpha }\wedge {\omega }_{\beta }^{\gamma }=R_{\beta }^{\alpha }\text{\hspace{1em}(7.146b)}$$

其中我们引入了挠率二形式 $T^{\alpha }\equiv \frac{1}{2}{T}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\hat{\theta }}^{\beta }\wedge {\hat{\theta }}^{\gamma }$ 与曲率二形式 $R_{\beta }^{\alpha }\equiv \frac{1}{2}{R}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }{\hat{\theta }}^{\gamma }\wedge {\hat{\theta }}^{\delta }$。

证明

让 (7.146a) 的左端作用于基向量 ${\hat{e}}_{\gamma }$ 与 ${\hat{e}}_{\delta }$，

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}{\hat{\theta }}^{\alpha }({\hat{e}}_{\gamma },{\hat{e}}_{\delta })+[⟨{\omega }_{\beta }^{\alpha },{\hat{e}}_{\gamma }⟩⟨{\hat{\theta }}^{\beta },{\hat{e}}_{\delta }⟩-⟨{\hat{\theta }}^{\beta },{\hat{e}}_{\gamma }⟩⟨{\omega }_{\beta }^{\alpha },{\hat{e}}_{\delta }⟩]\\ & =\left\{{\hat{e}}_{\gamma }\left[⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\hat{e}}_{\delta }⟩\right]-{\hat{e}}_{\delta }\left[⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },{\hat{e}}_{\gamma }⟩\right]-⟨{\hat{\theta }}^{\alpha },\left[{\hat{e}}_{\gamma },{\hat{e}}_{\delta }\right]⟩\right\}+\left\{⟨{\omega }_{\delta }^{\alpha },{\hat{e}}_{\gamma }⟩-⟨{\omega }_{\gamma }^{\alpha },{\hat{e}}_{\delta }⟩\right\}\\ & =-c_{\gamma \delta }^{\alpha }+{\Gamma }_{\gamma \delta }^{\alpha }-{\Gamma }_{\delta \gamma }^{\alpha }=T_{\gamma \delta }^{\alpha }\end{array}$$

这里用到了 (5.70)。右端作用于 ${\hat{e}}_{\gamma }$ 与 ${\hat{e}}_{\delta }$ 则给出

$$\frac{1}{2}{T}_{\beta \epsilon }^{\alpha }[⟨{\hat{\theta }}^{\beta },{\hat{e}}_{\gamma }⟩⟨{\hat{\theta }}^{\epsilon },{\hat{e}}_{\delta }⟩-⟨{\hat{\theta }}^{\epsilon },{\hat{e}}_{\gamma }⟩⟨{\hat{\theta }}^{\beta },{\hat{e}}_{\delta }⟩]=T_{\gamma \delta }^{\alpha }$$

这就验证了 (7.146a)。

式 (7.146b) 可用类似方法证明（留作练习）。

对 (7.146a) 与 (7.146b) 取外微分，便得到比安基恒等式

$$\mathrm{d}{T}^{\alpha }+{\omega }_{\beta }^{\alpha }\wedge T^{\beta }=R_{\beta }^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }\text{\hspace{1em}(7.147a)}$$

$$\mathrm{d}{R}_{\beta }^{\alpha }+{\omega }_{\gamma }^{\alpha }\wedge R_{\beta }^{\gamma }-R_{\gamma }^{\alpha }\wedge {\omega }_{\beta }^{\gamma }=0.\text{\hspace{1em}(7.147b)}$$

这些就是 (7.81a) 与 (7.81b) 的非坐标基版本。

7.8.3 局部标架

在 $m$ 维黎曼流形中，度量张量 $g_{\mu \nu }$ 有 $m(m+1)/2$ 个自由度，而多元标架 $e_{\alpha }^{\mu }$ 有 $m^2$ 个自由度。给出同一度规 $g$ 的非坐标基有很多，其中任意两个之间都相差一个局部正交旋转，

$${\hat{\theta }}^{\alpha }⟶{\hat{\theta }}^{\prime \alpha }(p)={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p){\hat{\theta }}^{\beta }(p)\text{\hspace{1em}(7.148)}$$

即在每一点 $p$ 处。多元标架的变换为

$$e_{\mu }^{\alpha }(p)⟶e_{\mu }^{\prime \alpha }(p)={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p)e_{\mu }^{\beta }(p).\text{\hspace{1em}(7.149)}$$

与在坐标变换下发生变换的 $\kappa ,\lambda ,\mu ,\nu ,\dots$ 不同，指标 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots$ 在局部正交旋转下发生变换，而在坐标变换下保持不变。由于度量张量在该旋转下不变，${\Lambda }^{\alpha }{}_{\beta }$ 满足

$${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{\delta }_{\alpha \delta }{\Lambda }_{\gamma }^{\delta }={\delta }_{\beta \gamma }\text{i f}M\text{若 M 为黎曼的}\text{\hspace{1em}(7.150a)}$$

$${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{\eta }_{\alpha \delta }{\Lambda }_{\gamma }^{\delta }={\eta }_{\beta \gamma }\text{i f}M\text{若 M 为洛伦兹的。}\text{\hspace{1em}(7.150b)}$$

这表明，若 $M$ 是 $\dim M=m$ 的黎曼流形，则 $\{{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p)\}\in \mathrm{SO}(m)$；若 $M$ 是洛伦兹流形，则 $\{{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p)\}\in \mathrm{SO}(m-1,1)$。这些李群的维数为 $m(m-1)/2=m^2-m(m+1)/2$，即 $e_{\alpha }^{\mu }$ 的自由度与 $g_{\mu \nu }$ 的自由度之差。在局部标架旋转 ${\Lambda }_{\beta }^{\alpha }(p)$ 下，指标 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\dots$ 发生旋转，而 $\kappa ,\lambda ,\mu ,\nu ,\dots$（世界指标(world index)）不受影响。在旋转 (7.148) 下，基向量的变换为

$${\hat{e}}_{\alpha }⟶{\hat{e}}_{\alpha }^{\prime }={\hat{e}}_{\beta }({\Lambda }^{-1}{)}_{\alpha }^{\beta }.\text{\hspace{1em}(7.151)}$$

设 $t=t_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }\otimes \mathrm{d}{x}^{\nu }$ 为 (1,1) 型张量场。在基 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 与 $\{{\hat{\theta }}^{\alpha }\}$ 下，有 $t=t_{\beta }^{\alpha }{\hat{e}}_{\alpha }\otimes {\hat{\theta }}^{\beta }$，其中 $t_{\beta }^{\alpha }=e_{\mu }^{\alpha }{e}_{\beta }{}^{\nu }{t}_{\nu }^{\mu }$。若采用新标架 $\{{\hat{e}}_{\alpha }^{\prime }\}=\{{\hat{e}}_{\beta }({\Lambda }^{-1}{)}_{\alpha }^{\beta }\}$ 与 $\{{\hat{\theta }}^{\prime \alpha }\}=\{{\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{\hat{\theta }}^{\beta }\}$，则张量 $t$ 表示为

$$t=t_{\beta }^{\prime \alpha }{\hat{e}}_{\alpha }^{\prime }\otimes {\hat{\theta }}^{\prime \beta }=t_{\beta }^{\prime \alpha }{\hat{e}}_{\gamma }({\Lambda }^{-1}{)}_{\alpha }^{\gamma }\otimes {\Lambda }_{\delta }^{\beta }{\hat{\theta }}^{\delta }$$

由此可得变换规则：

$$t_{\beta }^{\alpha }⟶t_{\beta }^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }{t}_{\delta }^{\gamma }({\Lambda }^{-1}{)}_{\beta }^{\delta }.$$

总之，上（下）非坐标指标分别按 $\Lambda ({\Lambda }^{-1})$ 旋转。从坐标基到非坐标基的变换则通过乘以多元标架来实现。

由这些事实，我们可求得联络一形式 ${\omega }_{\beta }^{\alpha }$ 的变换规则。挠率二形式的变换为

$$T^{\alpha }⟶T^{\prime \alpha }=\mathrm{d}{\hat{\theta }}^{\prime \alpha }+{\omega }_{\beta }^{\prime \alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\prime \beta }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }[\mathrm{d}{\hat{\theta }}^{\beta }+{\omega }_{\gamma }^{\beta }\wedge {\hat{\theta }}^{\gamma }].$$

将 ${\hat{\theta }}^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\beta }^{\alpha }{\hat{\theta }}^{\beta }$ 代入此式，可得

$${\omega }_{\beta }^{\prime \alpha }{\Lambda }_{\gamma }^{\beta }={\Lambda }_{\delta }^{\alpha }{\omega }_{\gamma }^{\delta }-\mathrm{d}{\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }.$$

在等式两边右乘 ${\Lambda }^{-1}$，便得到

$${\omega }_{\beta }^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }{\omega }_{\delta }^{\gamma }({\Lambda }^{-1}{)}_{\beta }^{\delta }+{\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }(\mathrm{d}{\Lambda }^{-1}{)}_{\beta }^{\gamma }\text{\hspace{1em}(7.152)}$$

这里用到了恒等式 $\mathrm{d}\Lambda {\Lambda }^{-1}+\Lambda \mathrm{d}{\Lambda }^{-1}=0$，它可由 $\Lambda {\Lambda }^{-1}=I_m$ 推出。

曲率二形式按齐次方式变换：

$$R_{\beta }^{\alpha }⟶R_{\beta }^{\prime \alpha }={\Lambda }_{\gamma }^{\alpha }{R}_{\delta }^{\gamma }({\Lambda }^{-1}{)}_{\beta }^{\delta }\text{\hspace{1em}(7.153)}$$

这是在局部标架旋转 $\Lambda$ 之下发生的。

7.8.4 非坐标基中的列维-奇维塔联络

设 $\nabla$ 是 $(M,g)$ 上的一个列维-奇维塔联络，它以度量相容性 ${\nabla }_{X}g=0$ 与挠率为零 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }=0$ 为特征。看看这两个条件在目前的处理方式中如何表述，是很有意思的。分量 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }$ 与 ${\Gamma }_{\beta \gamma }^{\alpha }$ 之间由(7.142)相联系。设 $(M,g)$ 为黎曼流形（若 $(M,g)$ 是洛伦兹的，则只需把下文所有的 ${\delta }_{\alpha \beta }$ 都换成 ${\eta }_{\alpha \beta }$）。若用 ${\delta }_{\alpha \delta }{\Gamma }_{\beta \gamma }^{\delta }$ 定义里奇转动系数(Ricci rotation coefficient) ${\Gamma }_{\alpha \beta \gamma }$，则度量相容性可表述为

$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_{\alpha \beta \gamma }& ={\delta }_{\alpha \delta }{e}_{\lambda }^{\delta }{e}_{\beta }^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\gamma }^{\lambda }=-{\delta }_{\alpha \delta }{e}_{\gamma }^{\lambda }{e}_{\beta }^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\lambda }^{\delta }\\ & =-{\delta }_{\gamma \delta }{e}_{\lambda }^{\delta }{e}_{\beta }^{\mu }{\nabla }_{\mu }{e}_{\alpha }^{\lambda }=-{\Gamma }_{\gamma \beta \alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(7.154)}$$

这里用到了 ${\nabla }_{\mu }g=0$。用联络一形式 ${\omega }_{\alpha \beta }\equiv$ ${\delta }_{\alpha \gamma }{\omega }_{\beta }^{\gamma }$ 来表示，上式就成为

$${\omega }_{\alpha \beta }=-{\omega }_{\beta \alpha }.\text{\hspace{1em}(7.155)}$$

无挠条件为

$$\mathrm{d}{\hat{\theta }}^{\alpha }+{\omega }_{\beta }^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=0.\text{\hspace{1em}(7.156)}$$

读者应当验证，(7.156) 蕴含联络系数 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }={\Gamma }_{\nu \mu }^{\lambda }$ 在坐标基中是对称的。条件 (7.156) 使我们能够计算基 $\{{\hat{e}}_{\alpha }\}$ 的 $c_{\alpha \beta }^{\gamma }$。让我们来看对易关系

$$c_{\alpha \beta }^{\gamma }{\hat{e}}_{\gamma }=[{\hat{e}}_{\alpha },{\hat{e}}_{\beta }]={\nabla }_{\alpha }{\hat{e}}_{\beta }-{\nabla }_{\beta }{\hat{e}}_{\alpha }\text{\hspace{1em}(7.157)}$$

其中最后一个等号由无挠条件得出。由 (7.141) 可得

$$c_{\alpha \beta }^{\gamma }={\Gamma }_{\alpha \beta }^{\gamma }-{\Gamma }_{\beta \alpha }^{\gamma }.\text{\hspace{1em}(7.158)}$$

把 (7.158) 代入 (7.144)，我们便可以用 $\Gamma$ 单独表示黎曼曲率张量，

$$\begin{array}{rl}& R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }={\hat{e}}_{\gamma }[{\Gamma }_{\delta \beta }^{\alpha }]-{\hat{e}}_{\delta }[{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\alpha }]+{\Gamma }_{\delta \beta }^{\epsilon }{\Gamma }_{\gamma \epsilon }^{\alpha }-{\Gamma }_{\gamma \beta }^{\epsilon }{\Gamma }_{\delta \epsilon }^{\alpha }\\ & -\left({\Gamma }_{\gamma \delta }^{\epsilon }-{\Gamma }_{\delta \gamma }^{\epsilon }\right){\Gamma }_{\epsilon \beta }^{\alpha }.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.159)}$$

例 7.14

我们取 例 7.13 中的球面 $S^2$。$e_{\mu }^{\alpha }$ 的分量为

$$e_{\theta }^1=1e_{\varphi }^1=0e_{\theta }^2=0e_{\varphi }^2=\sin \theta .\text{\hspace{1em}(7.160)}$$

首先注意到，度规条件给出 ${\omega }_{11}={\omega }_{22}=0$，从而有 ${\omega }_1^1={\omega }_2^2=0$。其余的联络1-形式由无挠条件得到，

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}(\mathrm{d}\theta )+{\omega }_2^1\wedge (\sin \theta \mathrm{d}\varphi )=0(7.161a)\\ & \mathrm{d}(\sin \theta \mathrm{d}\varphi )+{\omega }_1^2\wedge \mathrm{d}\theta =0.(7.161b)\end{array}$$

由 (7.161) 的第二式容易看出，${\omega }_1^2=\cos \theta \mathrm{d}\varphi$ 与度规条件 ${\omega }_{12}=-{\omega }_{21}$ 蕴含 ${\omega }_2^1=-\cos \theta \mathrm{d}\varphi$。黎曼张量也可由嘉当结构方程求得，

$${\omega }_2^1\wedge {\omega }_1^2=\frac{1}{2}{R}_{1\alpha \beta }^1{\hat{\theta }}^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }\text{\hspace{1em}(7.162a)}$$

$$\mathrm{d}{\omega }_2^1=\frac{1}{2}{R}_{2\alpha \beta }^1{\hat{\theta }}^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }\text{\hspace{1em}(7.162b)}$$

$$\mathrm{d}{\omega }_1^2=\frac{1}{2}{R}_{1\alpha \beta }^2{\hat{\theta }}^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }\text{\hspace{1em}(7.162c)}$$

$${\omega }_1^2\wedge {\omega }_2^1=\frac{1}{2}{R}_{2\alpha \beta }^2{\hat{\theta }}^{\alpha }\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }.\text{\hspace{1em}(7.162d)}$$

不为零的分量为 $R_{212}^1=-R_{221}^1=\sin \theta$、$R_{112}^2=-R_{121}^2=-\sin \theta$。借助 $e_{\alpha }^{\mu }$ 与 $e_{\mu }^{\alpha }$ 便可过渡到坐标基下的表达式。例如，

$$R_{\varphi \theta \varphi }^{\theta }=e_{\alpha }^{\theta }{e}_{\varphi }^{\beta }{e}_{\gamma \theta }^{\gamma }{e}_{\varphi }^{\delta }{R}_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\theta }{R}_{212}^1=\frac{1}{\sin \theta }.$$

例 7.15

施瓦西度规由下式给出

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{s}^2& =-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}{t}^2+\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\mathrm{d}{r}^2+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)\\ & =-{\hat{\theta }}^0\otimes {\hat{\theta }}^0+{\hat{\theta }}^1\otimes {\hat{\theta }}^1+{\hat{\theta }}^2\otimes {\hat{\theta }}^2+{\hat{\theta }}^3\otimes {\hat{\theta }}^3\end{array}\text{\hspace{1em}(7.163)}$$

其中

$$\begin{array}{rl}& {\hat{\theta }}^0={\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{1/2}\mathrm{d}t{\hat{\theta }}^1={\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1/2}\mathrm{d}r\\ & {\hat{\theta }}^2=r\mathrm{d}\theta {\hat{\theta }}^3=r\sin \theta \mathrm{d}\varphi .\end{array}\text{\hspace{1em}(7.164)}$$

各参数的取值范围为 $0<2M<r$、$0\le \theta \le \pi$ 与 $0\le \varphi <2\pi$。度规条件给出 ${\omega }_0^0={\omega }_1^1={\omega }_2^2={\omega }_3^3=0$，而无挠条件为：

$$\mathrm{d}\left[(1-2M/r{)}^{1/2}\mathrm{d}t\right]+{\omega }_{\beta }^0\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=0\text{\hspace{1em}(7.165a)}$$

$$\mathrm{d}\left[{\left(1-2M/r\right)}^{-1/2}\mathrm{d}r\right]+{\omega }_{\beta }^1\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=0\text{\hspace{1em}(7.165b)}$$

$$\mathrm{d}(r\mathrm{d}\theta )+{\omega }_{\beta }^2\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=0\text{\hspace{1em}(7.165c)}$$

$$\mathrm{d}(r\sin \theta \mathrm{d}\varphi )+{\omega }_{\beta }^3\wedge {\hat{\theta }}^{\beta }=0.\text{\hspace{1em}(7.165d)}$$

不为零的联络1-形式分量为

$$\begin{array}{rl}& {\omega }_1^0={\omega }_0^1=\frac{M}{r^2}dt{\omega }_1^2=-{\omega }_2^1={\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{1/2}d\theta \\ & {\omega }_1^3=-{\omega }_3^1={\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{1/2}\sin \theta d\varphi {\omega }_2^3=-{\omega }_3^2=\cos \theta d\varphi .\end{array}\text{\hspace{1em}(7.166)}$$

由嘉当结构方程可求得曲率二形式为

$$\begin{array}{rl}& R_1^0=R_0^1=\frac{2M}{r^3}{\hat{\theta }}^0\wedge {\hat{\theta }}^1{R}_2^0=R_0^2=-\frac{2M}{r^3}{\hat{\theta }}^0\wedge {\hat{\theta }}^2\\ & R_3^0=R_0^3=-\frac{M}{r^3}{\hat{\theta }}^0\wedge {\hat{\theta }}^3{R}_2^1=-R_1^2=-\frac{M}{r^3}{\hat{\theta }}^1\wedge {\hat{\theta }}^2\\ & R_3^1=-R_1^3=-\frac{M}{r^3}{\hat{\theta }}^1\wedge {\hat{\theta }}^3{R}_3^2=-R_2^3=\frac{2M}{r^3}{\hat{\theta }}^2\wedge {\hat{\theta }}^3.\end{array}\text{\hspace{1em}(7.167)}$$

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：664cf0bc79f4c7bde63223d3de1e8db0747f3d3a614cc2d4a2b7551b42acbcb9