连通空间 (connected space)

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已登记出处中的最早位置：§10.7 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§10.7 · zh-CN · translation · unreviewed

直观地说，如果拓扑空间 $X$ 可以分解为两个不相交的子集 $X=A\cup B$，且这些集合没有任何公共边界点，那么我们可以认为它是“不连通”的。由于一个集合的边界同时也是其补集的边界，这种分解能够发生的唯一方式是存在一个不同于空集或整个空间 $X$ 的集合 $A$，它完全没有边界点。由于 $b(A)=\overline{A}-A^o$，$b(A)=\varnothing$ 能够发生的唯一方式是 $\overline{A}=A^o.$ 由于 $\overline{A}\subseteq A\subseteq A^o$，集合 $A$ 必须同时等于其闭包和内部；特别地，它需要同时是开集和闭集。这引出了以下定义：如果仅有的既开又闭的子集是空集和空间 $X$ 本身，则称拓扑空间 $X$ 为 连通空间(connected space)。如果一个空间不是连通的，则称它为不连通空间(disconnected space)。换言之，如果 $X=A\cup B$，其中 $A$ 和 $B$ 是既开又闭的不相交集合，则 $X$ 是不连通的。如果子集 $A\subset X$ 在相对拓扑中是连通的，则称它是连通的。

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