17.2 格罗内沃尔德-范霍夫不可行定理

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如果人们想要量子化相空间上次数大于二的多项式函数，很快就会清楚，“算符排序歧义”问题是一个重要问题。涉及以不同方式排列 $P$ 和 $Q$ 算符的不同规定，会导致同一函数 $f,$ 得到不同的 $O_{f}$ ，并对应物理上不同的可观测量（尽管这些差异涉及 $P$ 与 $Q .$ 的对易子，因此是 $ℏ)$ 中的高阶项

当物理学家最初试图寻找一种一致的方案，以产生一个对应于相空间上次数大于二次的多项式函数的算符 $O_{f}$ 时，他们发现，不可能以与该关系一致的方式做到这一点

O_{{f, g}} = - \frac{i}{ℏ} [O_{f}, O_{g}]

对于次数大于二次的多项式。无论人们设计出何种方法来量子化更高次数的多项式，它都只能使该关系在 $ℏ,$ 的最低阶上得到满足，并且会存在更高阶的修正，而这些修正取决于所选择的量子化方案。等价地说，只有对于次数不超过二次的多项式所构成的六维李代数，薛定谔表示才给出一个李代数表示，并且这不能一致地延拓为相空间上函数的一个更大子代数的表示。这一问题由以下不可行定理精确表述：

定理（Groenewold-van Hove）

不存在从 $R^{2}$ 上的多项式到 $L^{2} (R)$ 上的自伴算符的映射 $f O_{f}$ ，满足
$O_{{f, g}} = - \frac{i}{ℏ} [O_{f}, O_{g}]$

和

O_{p} = P, O_{q} = Q

对于 $R^{2}$ 上函数的任意李子代数，只要次数小于或等于二的多项式子代数为其真子代数。

证明。详细证明见[8]的5.4节、[26]的4.4节或[37]的第16章。概要地说，证明首先表明，取三次多项式的泊松括号会得到更高阶的多项式，并且进一步地，对于三次及三次以上，将不存在有界次数的多项式的有限维子代数。定理的假设迫使三次项中某些特定的算符排序选择。随后利用同一个四次多项式作为泊松括号有两种不同表达式这一事实，在四次项中得到矛盾：

q^{2} p^{2} = \frac{1}{3} {q^{2} p, p^{2} q} = \frac{1}{9} {q^{3}, p^{3}}

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 197、198、199、200、201、202、203

来源版本：2025-10-20

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