17.1 正则量子化

17.1 正则量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 伴随表示 · 群表示 · 酉表示 · 李群 · 李括号

在量子力学历史的极早期，当狄拉克第一次看到海森堡对易关系时，他注意到其与泊松括号的类比。我们有

$$\{q,p\}=1\mathrm{and}-\frac{i}{\hslash }[Q,P]=1$$

以及

$$\frac{df}{dt}=\{f,h\}\mathrm{and}\frac{d}{dt}\mathcal{O}(t)=-\frac{i}{\hslash }[\mathcal{O},H]$$

其中最后一个方程是量子力学中海森堡绘景可观测量 $\mathcal{O}(t)$ 的时间依赖方程。狄拉克的建议是，给定任意经典哈密顿系统，都可以通过找到一条规则将其“量子化”，该规则把相空间 a 上的函数 $f$ 与自伴算符 $O_f$ 相对应（特别地 $O_h=H)$，作用在状态空间 $H$ 上，使得

$$O_{\{f,g\}}=-\frac{i}{\hslash }[O_f,O_g]$$

这完全等价于要求相空间上函数构成的无限维李代数（以泊松括号为李括号）的一个酉表示$({\pi }^{\prime },\mathcal{H})$。为看出这一点，注意动量$p$和位置$q$的单位可以选得使$\hslash =1$。然后，按通常做法，通过将自伴算符乘以$-i,$来得到斜伴随李代数表示算符，设定

$${\pi }^{\prime }(f)=-i{O}_f$$

李代数同态性质

$${\pi }^{\prime }(\{f,g\})=[{\pi }^{\prime }(f),{\pi }^{\prime }(g)]$$

对应于

$$-i{O}_{\{f,g\}}=[-i{O}_f,-i{O}_g]=-[O_f,O_g]$$

因此就得到了狄拉克所建议的关系。

回忆一下，海森堡李代数同构于相空间上函数的三维子代数，该子代数由常数函数、函数 $q$ 和函数 $p.$ 的线性组合给出。薛定谔表示 ${\Gamma }_S^{\prime }$ 提供的不是相空间上所有函数的李代数的酉表示，而是次数至多为一的这些多项式的酉表示，如下所示

$$O_1=1,O_q=Q,O_p=P$$

因此

$${\Gamma }_S^{\prime }(1)=-i1,{\Gamma }_S^{\prime }(q)=-iQ=-iq,{\Gamma }_S^{\prime }(p)=-iP=-\frac{d}{dq}$$

接下来讨论二次多项式，它们也可以按如下方式量子化

$$O_{\frac{p^2}{2}}=\frac{P^2}{2},O_{\frac{q^2}{2}}=\frac{Q^2}{2}$$

对于函数 pq，不能再简单地把 $p$ 替换为 $P$、把 $q$ 替换为 $Q$，因为算符 $P$ 与 $Q$ 不对易，所以阶数很重要。此外，$PQ$ 和 $QP$ 都不是自伴的。能够满足所有条件、给出李代数同态的是自伴组合

$$O_{pq}=\frac{1}{2}(PQ+QP)$$

这表明，先前定义为海森堡李代数${\mathfrak{h}}_3$的表示的薛定谔表示${\Gamma }_S^{\prime }$，可延拓为相空间上所有二次多项式构成的更大李代数的酉李代数表示；我们将继续用${\Gamma }_S^{\prime }$表示该表示，并称之为薛定谔表示。在齐次二阶多项式的一组基上，我们有

$${\Gamma }_S^{\prime }\left(\frac{q^2}{2}\right)=-i\frac{Q^2}{2}=-\frac{i}{2}{q}^2$$ $${\Gamma }_S^{\prime }\left(\frac{p^2}{2}\right)=-i\frac{P^2}{2}=\frac{i}{2}\frac{d^2}{d{q}^2}$$ $${\Gamma }_S^{\prime }(pq)=-\frac{i}{2}(PQ+QP)$$

将${\Gamma }_S^{\prime }$限制在这些齐次二阶多项式的线性组合上（它们给出李代数$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$，见定理16.1），我们得到$\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$的一个李代数表示，称为metaplectic表示。

限制在海森堡李代数上时，薛定谔表示 ${\Gamma }_S^{\prime }$ 通过指数映射给出相应海森堡李群的一个表示 ${\Gamma }_S$（回忆第 13.3 节）。然而，作为 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 的表示，${\Gamma }_S^{\prime }$ 具有与 $\mathfrak{su}(2)=$ $\mathfrak{so}(3)$ 的旋量表示相同类型的问题，后者不是 $SO(3)$ 的表示，而只是其双覆盖 $SU(2)=Spin(3)$ 的表示。要得到群表示，必须转到群 $SL(2,\mathbf{R})$ 的一个双覆盖，它将被称为辛群并记作 $\mathcal{M}p(2,\mathbf{R})$

为了说明该问题，考虑元素

$$\frac{1}{2}(q^2+p^2)\leftrightarrow E-F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

在 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 中。对此取指数给出 qp 平面中顺时针旋转的子群 $SO(2)\subset SL(2,\mathbf{R})$。李代数表示算符是

$${\Gamma }_S^{\prime }\left(\frac{1}{2}(q^2+p^2)\right)=-\frac{i}{2}(Q^2+P^2)=-\frac{i}{2}\left(q^2-\frac{d^2}{d{q}^2}\right)$$

这是一个在位置空间表示和动量空间表示中均为二阶微分算符的算符。因此，如何对该算符进行指数化并不显然。

然而，人们可以观察在状态

$${\psi }_0(q)=e^{-\frac{q^2}{2}}\subset \mathcal{H}=L^2(\mathbf{R})$$

其中有一个

$$-\frac{i}{2}\left(q^2-\frac{d^2}{d{q}^2}\right){\psi }_0(q)=-\frac{i}{2}{\psi }_0(q)$$

因此 ${\psi }_0(q)$ 是 ${\Gamma }_S^{\prime }(\frac{1}{2}(q^2+p^2))$ 的一个特征向量，其特征值为 $-\frac{i}{2}$。将 ${\Gamma }_S^{\prime }(\frac{1}{2}(q^2+p^2))$ 指数化后，表示 ${\Gamma }_S$ 通过乘以一个相位作用于该态。当绕群 $SO(2)$ 一周时（将 $qp$ 平面旋转一个从 0 到 $2\pi )$ 的角度），相位角仅从 0 变到 $\pi ,$，这展示了与旋量表示情形中出现的相同问题。

当我们在第 22 章中通过其在量子谐振子态空间 $\mathcal{H}$ 上的作用来研究薛定谔表示时，我们将看到该算符

$$\frac{1}{2}(Q^2+P^2)$$

是量子谐振子的哈密顿算符，且其所有特征向量（不仅是 ${\psi }_0(q))$）都具有半整数特征值。在第 24 章中，我们将 ${}_{\mathrm{go}}$ 继续利用为研究谐振子而发展出的方法，更详细地讨论元辛表示的构造。

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