17.3 d 维中的正则量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 酉表示

上述内容可以容易地推广到 $d$ 维的情形，此时薛定谔表示 $Γ_{S}^{'}$ 给出海森堡李代数 $h_{2 d + 1}$ 的一个酉表示，由

Γ_{S}^{'} (q_{j}) = - i Q_{j}, Γ_{S}^{'} (p_{j}) = - i P_{j}

其满足海森堡关系

[Q_{j}, P_{k}] = i δ_{j k}

推广到相空间坐标函数中的二次多项式，我们有

Γ_{S}^{'} (q_{j} q_{k}) = - i Q_{j} Q_{k}, Γ_{S}^{'} (p_{j} p_{k}) = - i P_{j} P_{k}, Γ_{S}^{'} (q_{j} p_{k}) = - \frac{i}{2} (Q_{j} P_{k} + P_{k} Q_{j}) (17.1)

这些算符可以取指数，从而在同一个 $H$ 上得到 $M p (2 d, R)$ 的一个表示，后者是辛群 $S p (2 d, R)$ 的双重覆盖。这一现象将在后续章节中仔细考察，从第 20 章以及 20.3.2 节中的计算开始，随后在第 24 章和第 25 章中利用谐振子量子化中出现的另一个（但酉等价的）表示进行讨论。Groenewold-van Hove 定理意味着，我们无法找到正则变换的更大群的一个酉表示来延拓 Heisenberg 群和 metaplectic 群的这一表示。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 197、198、199、200、201、202、203

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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