19.3 E(3) 的其他表示

19.3 E(3) 的其他表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

对于 $E(3)$ 的情形，除了上面构造的由 $E>0$ 参数化的表示之外，如同 $E(2)$ 的情形一样，还存在有限维表示，其中 $E(3)$ 的平移子群平凡作用。这样的不可约表示正是 $SO(3)$ 的 spin-$s$ 表示 $({\rho }_s,{\mathbf{C}}^{2s+1})$，其中 $s=0,1,2,\dots$

$E(3)$ 具有一些在 $E(2)$ 情形中未见的结构，这些结构可用于构造新的无限维不可约表示类。这可以从两个不同的角度看出：

• 存在第二个卡西米尔算符，可以证明它与 $E(3)$ 作用可交换，由下式给出

$$\mathbf{L}\cdot \mathbf{P}=L_1{P}_1+L_2{P}_2+L_3{P}_3$$

• 群 $SO(3)$ 通过旋转作用于动量向量，群作用的轨道是固定能量 $E>0$ 的动量向量构成的球面。这是表示中波函数的傅里叶变换的支集所在的球面。与 $E(2)$ 情形中相应的圆不同，这里旋转群 $SO(3)$ 存在一个非平凡子群，它使给定的动量向量保持不变。这就是 $SO(2)\subset$ $SO(3)$ 子群，由绕动量向量所确定轴的旋转组成，并且对于动量空间中的不同点它是不同的。

图 19.2：使给定动量向量保持不变的 $SO(2)$ 的副本。

对于单分量波函数，直接计算表明第二卡西米尔算符 $\mathbf{L}\cdot \mathbf{P}$ 的作用为零。通过引入具有多个分量的波函数，并配合 $SO(3)$ 的一个混合各分量的作用，可以得出能够得到新的不可约表示，其第二卡西米尔的一个非零值对应于绕动量向量旋转的 $SO(2)$ 作用的一个非平凡权重。

这样的多分量波函数可以通过取我们在能量为 $E$ 的波函数上的不可约表示（称之为 ${\mathcal{H}}_E)$）与有限维不可约表示 ${\mathbf{C}}^{2s+1}$ 的张量积，构造为 $E(3)$ 的表示。

$${\mathcal{H}}_E\otimes {\mathbf{C}}^{2s+1}$$

$E(3)$ 的平移部分的李代数表示算符在 ${\mathcal{H}}_E$ 上表现为动量算符，而在 ${\mathbf{C}}^{2s+1}$ 上表现为 0。对于 $E(3)$ 2 的 $SO(3)$ 部分，我们得到角动量算符，它们可以写成

$$J_j=L_j+S_j\equiv L_j\otimes 1+1\otimes S_j$$

其中 $L_j$ 作用于 ${\mathcal{H}}_E$，且 $S_j={\rho }^{\prime }(l_j)$ 作用于 ${\mathbf{C}}^{2s+1}$

这个张量积表示将不是不可约的，但其不可约分量可以通过取第二卡西米尔算符的特征子空间来找到，该特征子空间现在将是

$$\mathbf{J}\cdot \mathbf{P}$$

我们在此不详细展开这一点（尽管对于 $\begin{array}{r}s=\frac{1}{2}\end{array}$ 的情形，细节可在第34章中找到，其中半整数性对应于将 $SO(3)$ 替换为其双重覆盖 $\bar{S}pin(3),$）。所发生的是，张量积分解为不可约表示，如下

$${\mathcal{H}}_E\otimes {\mathbf{C}}^{2s+1}=\underset{n=-s}{\overset{n=s}{⨁}}{\mathcal{H}}_{E,n}$$

其中 $n$ 是一个取值为 $-stos$ 的整数，称为“螺旋度”。${\mathcal{H}}_{E,n}$ 是张量积的子空间，在该子空间上第一个卡西米尔量 $|\mathbf{P}{|}^2$ 取值 2m $E,$，而第二个卡西米尔量 $J$ · $P$ 取值 $np,$，其中 $p=$ $\sqrt{2mE}$。螺旋度的物理解释是：它是角动量沿动量向量所给轴的分量。螺旋度也可以视为 $SO(3)$ 的 $SO(2)$ 子群对应于绕动量向量轴旋转的作用的权。

选取 $E>0$ 和 ${\psi }_n\in \mathbf{Z}$，${\mathcal{H}}_{E,n}$ 上的表示（我们使用某个满足 $s\ge |n|)$ 的 $s$ 构造了这些表示）给出了 $E(3)$ 的所有可能的不可约表示。这些表示空间具有物理解释，即作为能量为 $E$ 的自由量子粒子的态空间，该粒子沿其运动方向带有一种“内部”量子化角动量，由螺旋度给出。

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来源版本：2025-10-20

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