19.2 E(3)的情形

19.2 E(3)的情形

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 不可约表示

在三个空间维度的物理情形中，量子自由粒子理论的状态空间同样是欧氏群表示，其与薛定谔表示的关系与二维空间情形相同。主要区别在于，旋转群现在是三维且非交换的，因此我们不再只有一个李代数基元素 $l$，而是有三个，它们满足的泊松括号关系正是 so(3) 的李代数关系。

$$\{l_1,l_2\}=l_3,\{l_2,l_3\}=l_1,\{l_3,l_1\}=l_2$$

$p_j$ 给出了 $E(3)$ 的李代数的另外三个基元素。它们彼此对易，而旋转对向量的作用给出了其余非平凡的泊松括号关系。

$$\begin{array}{rl}\left\{l_1,p_2\right\}& =p_3,\left\{l_1,p_3\right\}=-p_2\\ \left\{l_2,p_1\right\}& =-p_3,\left\{l_2,p_3\right\}=p_1\\ \left\{l_3,p_1\right\}& =p_2,\left\{l_3,p_2\right\}=-p_1\end{array}$$

该李代数与一个矩阵李代数的同构由下式给出

$$l_1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)l_2\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)l_3\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$p_1\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)p_2\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)p_3\leftrightarrow \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$l_j$ 是 $q_j,p_j$ 中的二次函数，由角动量的经典力学表达式给出

$$\mathbf{l}=\mathbf{q}\times \mathbf{p}$$

${}_{\mathrm{or}},$ 在分量中

$$l_1=q_2{p}_3-q_3{p}_2,l_2=q_3{p}_1-q_1{p}_3,l_3=q_1{p}_2-q_2{p}_1$$

欧氏群$E(3)$以与二维情形相同的方式是雅可比群$G^J(3)$的子群，并且正如在$E(2)$情形中一样，对薛定谔表示${\Gamma }_S^{\prime }$取指数

$${\Gamma }_S^{\prime }(l_1)=-i{L}_1=-i(Q_2{P}_3-Q_3{P}_2)=-\left(q_2\frac{\partial }{\partial q_3}-q_3\frac{\partial }{\partial q_2}\right)$$ $${\Gamma }_S^{\prime }(l_2)=-i{L}_2=-i(Q_3{P}_1-Q_1{P}_3)=-\left(q_3\frac{\partial }{\partial q_1}-q_1\frac{\partial }{\partial q_3}\right)$$ $${\Gamma }_S^{\prime }(l_3)=-i{L}_3=-i(Q_1{P}_2-Q_2{P}_1)=-\left(q_1\frac{\partial }{\partial q_2}-q_2\frac{\partial }{\partial q_1}\right)$$ $${\Gamma }_S^{\prime }(p_j)=-i{P}_j=-\frac{\partial }{\partial q_j}$$

提供了 $E(3)$ 的一个表示

如同在$E(2)$情形中一样，上述李代数表示只是$E(3)$在函数上的作用之无穷小版本，该作用由其在位置空间${\mathbf{R}}^3$上的作用诱导而来。给定一个元素$g=(\mathbf{a},R)\in E(3)$，我们便得到波函数上的一个酉变换

$$u(\mathbf{a},R)\psi (\mathbf{q})=\psi (g^{-1}\cdot \mathbf{q})=\psi (R^{-1}(\mathbf{q}-\mathbf{a}))$$

这样的群元素 $g$ 将是一个平移与一个旋转的乘积，而分别处理它们时，酉变换 $u$ 是上述李代数作用量的指数，其中

$$u(\mathbf{a},1)\psi (\mathbf{q})=e^{-i(a_1{P}_1+a_2{P}_2+a_3{P}_3)}\psi (\mathbf{q})=\psi (\mathbf{q}-\mathbf{a})$$

对于由$\mathbf{a},$进行的平移以及

$$u(0,R(\varphi ,{\mathbf{e}}_j))\psi (\mathbf{q})=e^{-i\varphi L_j}\psi (\mathbf{q})=\psi (R(-\varphi ,{\mathbf{e}}_j)\mathbf{q})$$

对于 $R(\varphi ,{\mathbf{e}}_j)$，绕 $j$ 轴旋转角度 $\varphi .$

$E(3)$ 在波函数上的这个表示是可约的，因为就动量本征态而言，旋转只会把一个动量值的本征态变为另一个具有相同范数平方的动量值的本征态。我们可以通过使用卡西米尔算符 ${\bar{P}}_1^2+P_2^2+P_3^2$ 来得到一个不可约表示，该算符与 $E(3)$ 的李代数中所有元素对易。卡西米尔算符在不可约表示上的作用为一个标量，而该表示将由这个标量来刻画。卡西米尔算符就是 2m 乘以哈密顿算子

$$H=\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2+P_3^2)$$

因此，刻画不可约表示的特征标将是能量 2mE。我们的不可约表示将建立在定态薛定谔方程解的空间上。

$$\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2+P_3^2)\psi (\mathbf{q})=-\frac{1}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)\psi (\mathbf{q})=E\psi (\mathbf{q})$$

使用傅里叶变换

$$\psi (\mathbf{q})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}\tilde{\psi }(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

定态薛定谔方程变为

$$\left(\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}-E\right)\tilde{\psi }(\mathbf{p})=0$$

并且我们有分布解

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})\delta (|\mathbf{p}{|}^2-2mE)$$

由定义在球面$|\mathbf{p}{|}^2=2mE$上的分布${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})$所刻画

球面上半径为 $\sqrt{2mE}$ 的此类复值分布提供了 $E(3)$ 的不可约表示的傅里叶变换版本 ue。这里群 $E(3)$ 的作用方式是

$$\tilde{u}(\mathbf{a},1){\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})=e^{-i(\mathbf{a}\cdot \mathbf{p})}{\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})$$

对于翻译，由

$$\tilde{u}(0,R){\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_E(R^{-1}\mathbf{p})$$

对于旋转，以及由

$$\tilde{u}(\mathbf{a},R){\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})=\tilde{u}(\mathbf{a},1)\tilde{u}(0,R){\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})=e^{-i\mathbf{a}\cdot R^{-1}\mathbf{p}}{\tilde{\psi }}_E(R^{-1}\mathbf{p})$$

对于一般元素。

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来源版本：2025-10-20

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