20.2 构造交织算符

20.2 构造交织算符

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我们将用来构造交织算符$U_k$的方法，是求方程20.1的微分版本的一个解，然后通过指数化得到$U_k$。对20.1在$t=0$处关于$k=e^{\hat{t}L}$求导，得到

$$[U_L^{\prime },{\Gamma }_S^{\prime }(X)]={\Gamma }_S^{\prime }(L\cdot X)\text{\hspace{1em}(20.2)}$$

其中

$$L\cdot X=\frac{d}{dt}{\Phi }_{e^{tL}}(X{)}_{|t=0}$$

并且我们在左侧使用了方程 5.1。

用 $Q_j$ 和 $P_j$ 算符表示，它们对于基向量 $q_j,p_j$ 的 $X$ 是 ${\Gamma }_S^{\prime }(X)$ 的 $i$ 倍，方程 20.2 为

$$\left[U_L^{\prime },\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{Q}}{\mathbf{P}}\right)\right]=L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{Q}}{\mathbf{P}}\right)\text{\hspace{1em}(20.3)}$$

我们可以通过量子化矩映射函数 ${\mu }_L$ 来求得 $U_L^{\prime }$，该函数满足

$$\left\{{\mu }_L,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\right\}=L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\text{\hspace{1em}(20.4)}$$

回忆16.1.2节，${\mu }_L$是$q_j,p_j$中的二次多项式。我们在17.3节看到，薛定谔表示${\Gamma }_S^{\prime }$可以通过取对应于${\mu }_L$中乘积的$Q_j,P_j$算符的乘积，从海森堡李代数延拓到辛李代数。对于非对易算符的排序歧义，通过使用下式量子化$q_j{p}_j$来解决

$${\Gamma }_S^{\prime }(q_j{p}_j)=-\frac{i}{2}(Q_j{P}_j+P_j{Q}_j)$$

因此我们取

$$U_L^{\prime }={\Gamma }_S^{\prime }({\mu }_L)$$

并且这将如所期望地满足20.3。它还将满足李代数同态性质

$$[U_{L_1}^{\prime },U_{L_2}^{\prime }]=U_{[L_1,L_2]}^{\prime }\text{\hspace{1em}(20.5)}$$

若将$U_L^{\prime }$平移一个常算符，它仍将满足20.3，但一般不再满足20.5。对该$U_L^{\prime }$取指数将给出我们的$U_k$，从而得到我们所需的交织算符。

这一方法将是我们构造可观测量算符的基本方式。它们来自李群在相空间上的一个保持泊松括号的作用。对于李代数的一个元素$L$，我们首先利用矩映射求出${\mu }_L$，即经典可观测量，然后量子化以得到量子可观测量$U_L^{\prime }$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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