20.1 交织算符与辛表示

20.1 交织算符与辛表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用 · 群同态 · 舒尔引理

对于一般的半直积 $N\times K$ 且 $N$ 非交换的情形，表示论可能相当复杂。然而，对于雅可比群的情形，由于 Stone-von Neumann 定理，情况会大大简化，该定理指出，在酉等价意义下，$N=H_{2d+1}$ 只有一个不可约表示

在一般情况下，回忆对于每个 $k\in K$，半直积的定义都伴随一个自同构 ${\Phi }_k:N\to N$，满足 ${\Phi }_{k_1{k}_2}={\Phi }_{k_1}{\Phi }_{k_2}.$。给定 $N$ 的一个表示 $\pi$，对于每个 $k$，我们可以先作用 ${\Phi }_k$，从而定义 $N$ 的一个新表示 ${\pi }_k$：

$${\pi }_k(n)=\pi ({\Phi }_k(n))$$

在海森堡群与薛定谔表示${\Gamma }_S$的特殊情形中，我们可以对每个$k\in K=Sp(2d,\mathbf{R})$这样做，通过定义一个新表示

$${\Gamma }_{S,k}(n)={\Gamma }_S({\Phi }_k(n))$$

斯通-冯·诺依曼定理保证这些必定全都酉等价，因此必定存在满足下式的酉算符$U_k$

$${\Gamma }_{S,k}=U_k{\Gamma }_S{U}_k^{-1}={\Gamma }_S({\Phi }_k(n))$$

我们通常将使用薛定谔表示的李代数版本${\Gamma }_S^{\prime }$， 对此同样的论证也适用：我们期望能够找到酉算符$U_k$，通过它将李代数表示${\Gamma }_S^{\prime }$与${\Gamma }_{S,k}^{\prime }$联系起来。

$${\Gamma }_{S,k}^{\prime }(X)=U_k{\Gamma }_S^{\prime }(X)U_k^{-1}={\Gamma }_S^{\prime }({\Phi }_k(X))\text{\hspace{1em}(20.1)}$$

其中 $X$ 属于海森堡李代数，而 $k$ 通过自同构 ${\Phi }_k$ 作用在该李代数上。

像$U_k$这样联系两个表示的算符称为“交织算符”：

定义（交织算符）

$If\left({\pi }_1,V_1\right),({\pi }_2,V_2)$ 是群 $G,$ 的两个表示，这两个表示之间的交织算符是一个算符 $U$，使得

$${\pi }_2(g)U=U{\pi }_1(g)\forall g\in G$$

在我们的情形中，$V_1=V_2$ 是薛定谔表示的状态空间 $H$，并且对于每个 $k\in Sp(2d,\mathbf{R})$，$U_k$ : $\mathcal{H}$ $H$ 是 ${\Gamma }_S$ 与 ${\Gamma }_{S,k}$ 之间的交织算符。由于

$${\Gamma }_{S,k_1{k}_2}=U_{k_1{k}_2}{\Gamma }_S{U}_{k_1{k}_2}^{-1}$$

人们可能会期望 $U_k$ 满足群同态性质

$$U_{k_1{k}_2}=U_{k_1}{U}_{k_2}$$

并给出群 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 在 $\mathcal{H}.$ 上的一个表示。这正是从如下一般原理推出的结果：经典相空间上的群作用在量子化之后成为量子态空间上的酉表示。

这一论证的问题在于，$U_k$ 并非唯一确定。舒尔引理告诉我们，由于 $\mathcal{H}$ 上的表示是不可约的，与表示算符对易的算符仅为复标量。这些复标量在酉算符 $U_k$ 的定义中带来相位不确定性，因此它们仅在相差一个相位的意义下给出 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 在 $\mathcal{H}$ 上的表示，即，

$$U_{k_1{k}_2}=U_{k_1}{U}_{k_2}{e}^{i\phi (k_1,k_2)}$$

对于群元素对的某个实值函数$\phi$。就相应的李代数表示算符$U_L^{\prime }$而言，这种不确定性表现为一个未知常数乘以单位算符。

于是产生一个问题：能否选择 $U_k$ 的相位，使其满足同态性质（即，能否选择相位使得对于整数 $N$ 有 $\phi (k_1,k_2)=N2\pi$ ？）。结果表明，这并不能完全做到，因为 $N$ 可能必须是半整数，从而同态性质只能精确到相差一个符号。正如在 $SO(d)$ 的情形中，类似的符号歧义表明需要过渡到双重覆盖 $Spin(d)$ 才能得到真正的表示，这里也需要过渡到 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 的一个双重覆盖，称为辛元群 $\mathcal{M}p(2d,\mathbf{R})$ 。这种符号歧义和双重覆盖的性质相当微妙，并且与 $Spin(d)$ 的情形不同，我们不会给出 $\mathcal{M}p(2d,\mathbf{R})$ 的实际构造。关于此的更多细节，见 [56] 或 [37]。在 20.3.2 节中，我们将通过计算展示双重覆盖的一个方面。

由于这只是一个符号歧义，它不会在无穷小情形下出现：李代数表示算符中带有歧义的常数可以被选择，使得李代数同态性质得到满足。然而，对于无限维相空间，这不再必然成立，这种情况被描述为对称性中的“anoma ${\mathrm{ly}}^{\text{sc},\ast }$。这一现象将在第39章中更详细地考察。

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来源版本：2025-10-20

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