20.3 显式计算

作为本章至此抽象讨论的平衡，在本节中我们将明确算出 $S p (2 d, R)$ 的一些作用于相空间的简单子群例子会发生什么。选择它们是因为其重要的后续应用，同时也因为计算相当简单，同时展示了所出现的一些现象。如何明确构造完整metaplectic表示的一般叙述要复杂得多。这些计算也将清楚说明所选择的约定，并展示对应于辛群子群作用的二次算符的基本结构，这一结构将在我们稍后遇到的复杂得多的无限维量子场论例子中再次出现。

20.3.1 平面旋转对 SO(2) 作用量在 d=2 情形下的作用

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在 $d = 2$ 的情形下，可以考虑 $S O (2)$ 群，它作为位形空间 $R^{2}$ 的旋转群作用，同时伴随动量空间的旋转。这使泊松括号保持不变，因此是 $S p (4, R)$ 的子群（这正是第 19.1 节所研究的 $E (2)$ 的 $S O (2)$ 子群）。

由 16.2 节的讨论可知，该 $S O (2)$ 通过自同构作用在海森堡群 $H_{5}$ 与李代数 $h_{5}$ 上，二者均可与 $M \oplus R$ 等同，且该作用保持 $R$ 分量不变。群 $S O (2)$ 通过下式作用在 $c_{q_{1}} q_{1} + c_{q_{2}} q_{2} + c_{p_{1}} p_{1} + c_{p_{2}} p_{2} \in M$ 上：

c_{q_{1}} c_{q_{2}} c_{p_{1}} c_{p_{2}} \to g c_{q_{1}} c_{q_{2}} c_{p_{1}} c_{p_{2}} = cos θ sin θ 00 - sin θ cos θ 00 00 cos θ sin θ 00 - sin θ cos θ c_{q_{1}} c_{q_{2}} c_{p_{1}} c_{p_{2}}

因此 $g = e^{θ L}$ ，其中 $L \in sp (4, R)$ 由下式给出

L = 0100 - 1 000 0001 00 - 1 0

$L$ 通过如下方式作用于相空间坐标函数：

q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} \to L^{T} q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} = q_{2} - q_{1} p_{2} - p_{1}

由方程16.22，其中

A = (01 - 1 0), B = C = 0

满足条件的二次函数 $μ_{L}$

⎩ ⎨ ⎧ μ_{L}, q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} ⎭ ⎬ ⎫ = L^{T} q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} = 0 - 1 00 1000 000 - 1 0010 q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} = q_{2} - q_{1} p_{2} - p_{1}

是

μ_{L} = - q \cdot (01 - 1 0) p = q_{1} p_{2} - q_{2} p_{1}

这正是角动量的公式

l = q_{1} p_{2} - q_{2} p_{1}

在 $d = 2.$ 中

量子化给出李代数 $so (2)$ 的一个表示，且

U_{L}^{'} = - i (Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1})

满足

[U_{L}^{'}, (Q _{2} Q _{1})] = (- Q _{1} Q _{2}), [U_{L}^{'}, (P _{2} P _{1})] = (- P _{1} P _{2})

取指数得到SO(2)的一个表示

U_{e^{θ L}} = e^{- i θ (Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1})}

以 $U_{e^{θ L}}$ 作共轭，使 $Q_{1}, Q_{2}$ 的线性组合（或 $P_{1}, P_{2})$ 各自）旋转一个角度 $θ$ 。

U_{e^{θ L}} (c_{q_{1}} Q_{1} + c_{q_{2}} Q_{2}) U_{e^{θ L}}^{- 1} = c_{q_{1}}^{'} Q_{1} + c_{q_{2}}^{'} Q_{2}

其中

(c _{q_{2}}^{'} c _{q_{1}}^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (c _{q_{2}} c _{q_{1}})

这些表示算符正是 (19.1 节) 中讨论与二维量子自由粒子相对应的 $E (2)$ 的表示时所找到的那些算符。在那里我们看到，在位置空间波函数上，这不过是由位置空间的旋转诱导出的表示。它同样来自薛定谔表示，只需取 $Q_{j}, P_{j}$ 算符的一个特定二次组合，即对应于二次函数 $l$ 的那个组合。注意，在这种情况下不存在排序歧义，因为不会将具有相同 $j .$ 值的 $q_{j}$ 与 $p_{j}$ 相乘。还要注意，对于这个 $S O (2)$ ，双重覆盖是平凡的：当在 $S O (2)$ 中绕圆一周时，算符 $U_{e^{θ L}}$ 是良定义的并回到其初始值。就 $S p (4, R)$ 的这个子群而言，无需考虑双重覆盖 $M p (4, R)$ 来得到良定义的表示。

群 $S O (2) \subset S p (4, R)$ 的情形可以推广到一个更大的子群，即 $G L (2, R)$ ，它由 $R^{2}$ 的所有可逆线性变换组成，这些变换同时作用于位置空间和动量空间。将矩阵 $L$ 替换为

(A 0 0 A)

对于任意实2乘2矩阵

A = (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22})

我们得到群 $G L (2, R) \subset S p (4, R)$ 在 $M$ 上的一个作用量，并在量子化后得到一个李代数表示

U_{A}^{'} = i (Q_{1} Q_{2}) (a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}) (P _{2} P _{1})

其将满足

[U_{A}^{'}, (Q _{2} Q _{1})] = - A (Q _{2} Q _{1}), [U_{A}^{'}, (P _{2} P _{1})] = A^{T} (P _{2} P _{1})

注意， $A$ 对动量算符的作用是对位置算符作用的对偶。只有在正交作用的情形下（先前的 SO(2)），二者才相同，且有 $A^{T} = - A$

20.3.2 d=1 相空间上的一个 SO(2) 作用

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相空间上另一类 $S O (2)$ 作用给出了一个 a $d = 1$ 的例子，它混合了位置与动量坐标。这将导致相当非平凡的交织算符，其对波函数的作用并非来自位置空间上群作用的诱导作用。当我们开始学习量子谐振子理论时，从第 22 章开始，将更详细得多地研究这个例子。这样的物理系统在时间上是周期的，因此通常的时间平移群 $R$ 成为这个 $S O (2)$ ，相应的交织算符给出量子态的时间演化。

在这种情况下， $d = 1$ ，并且有元素 $g \in S O (2) \subset S p (2, R)$ 通过下式作用于 $c_{q} q + c_{p} p \in M$ ：

(c _{p} c _{q}) \to g (c _{p} c _{q}) = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (c _{p} c _{q})

因此

g = e^{θ L}

其中

L = (0 - 1 10)

（注意，对于此类相空间旋转，我们在旋转正方向的约定上作了相反的选择，即顺时针而非逆时针）。

为求交织算符，我们首先求满足条件的 $q, p$ 中的二次函数 $μ_{L}$

{μ_{L}, (p q)} = L^{T} (p q) = (q - p)

由方程16.7，这是

μ_{L} = \frac{1}{2} (q p) (1001) (p q) = \frac{1}{2} (q^{2} + p^{2})

使用薛定谔表示 $Γ_{S}^{'}$ 对 $μ_{L}$ 进行量子化，就得到 $so (2)$ 的一个酉李代数表示 $U^{'}$ ，且

U_{L}^{'} = - \frac{i}{2} (Q^{2} + P^{2})

满足

[U_{L}^{'}, (P Q)] = (Q - P) (20.6)

和交织算符

U_{g} = e^{θ U_{L}^{'}} = e^{- i \frac{θ}{2} (Q^{2} + P^{2})}

这些仅给出 $S O (2)$ 的一个表示，且只确定到相差一个符号，原因见 17.1 节，并将在第 24 章中更详细地讨论。

将海森堡李代数表示算符用酉算符 $U_{g}$ 共轭，把对应于相空间平面旋转角度 $θ$ 的表示相互缠结。

e^{- i \frac{θ}{2} (Q^{2} + P^{2})} (P Q) e^{i \frac{θ}{2} (Q^{2} + P^{2})} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (P Q) (20.7)

注意，这与自旋情形中的计算不同，在自旋情形中我们也构造了 $S O (2)$ 的一个双重覆盖。尽管背景不同（ $(S O (2)$ 作用在无限维状态空间上），这里再次看到双重覆盖的一个方面，因为 $U_{g}$ 或 $- U_{g}$ 都会给出算符 $Q, P$ 上相同的 $S O (2)$ 旋转作用（而各自对状态有不同的作用，这将在第 24 章中详细讨论）。

在我们此处的讨论中，我们轻率地假定了算符 $U_{L}^{'}$ 可以取指数，但这样做结果相当不平凡。如之前所述，波函数上的这个表示并非来自位置空间上某个作用所诱导的作用。 $U_{L}^{'}$ （相差一个因子 $i$ ）是一个不具有平移不变性的量子系统的哈密顿算子。它涉及 $Q$ 和 $P,$ 两者的二次算符，因此薛定谔表示的位置空间版本和动量空间版本都不能用来使算符a成为乘法算符。所需指数化算符构造的进一步细节将在23.4节中给出。

20.3.3 傅里叶变换作为交织算符

关于20.3.2节中交织算符的非平凡性质，还有另一个迹象：群元素 $g$ 通过 $a \frac{π}{2}$ 的 $d = 1$ 相空间旋转作用，交换了 $q$ 与 $p .$ 的角色。结果表明，相应的交织算符 $U_{g}$ 与傅里叶变换 $F .$ 密切相关。在相差一个相位因子 $e^{i \frac{π}{4}}$ 的意义下，傅里叶变换正是这样一个交织算符：我们将在23.4节中看到，作用于波函数时，

U_{e^{\frac{π}{2} L}} = e^{i \frac{π}{4}} F

将此 $gi$ 求平方

U_{e^{π L}} = (U_{e^{\frac{π}{2} L}})^{2} = i F^{2}

并且我们从 $F$ 的定义和傅里叶反演可知

F^{2} ψ (q) = ψ (- q)

这里的非平凡二重覆盖出现，是因为

U_{e^{2 π L}} = - F^{4} = - 1

它将波函数 $ψ (q) to - ψ (q)$

20.3.4 d=1 相空间上的一个 R 作用量

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

对于 $d = 1$ 中的另一类例子，考虑子群 $R \subset$ $S L (2, R)$ 通过以下方式在 $d = 1$ 相空间上的作用：

(c _{p} c _{q}) \to g (c _{p} c _{q}) = (e^{r} 0 0 e^{- r}) (c _{p} c _{q})

其中

g = e^{r L}, L = (10 0 - 1)

现在，根据方程 16.7，矩映射将是

μ_{L} = \frac{1}{2} (q p) (0 - 1 - 1 0) (p q) = - q p

其满足

{μ_{L}, (p q)} = (- p q)

量子化通过以下方式给出交织算符：

U_{L}^{'} = - \frac{i}{2} (QP + P Q), U_{g} = e^{r U_{L}^{'}} = e^{- \frac{i r}{2} (QP + P Q)}

这些通过简单的重标度作用于算符 $Q$ 和 $P$

e^{- \frac{i r}{2} (QP + P Q)} (P Q) e^{\frac{i r}{2} (QP + P Q)} = (e^{r} 0 0 e^{- r}) (P Q)

注意，在薛定谔表示中

- i \frac{1}{2} (QP + P Q) = - i (QP - \frac{i}{2}) 1 = - q \frac{d}{d q} - \frac{1}{2} 1

该算符将以……为本征函数

ψ (q) = q^{c}

具有特征值 $- c - \frac{1}{2}$ 。此类状态远非平方可积，但确实可以解释为施瓦茨空间上的分布。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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