20.4 N × K 的表示，N 可交换

20.4 N × K 的表示，N 可交换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 不可约表示 · 李群

半直积 $N⋊K$ 的表示论一般来说会相当复杂。然而，当 $N$ 是交换的时，情况会大大简化，本节我们将概述这一情形的一些一般特征。2 维和 3 维欧氏群的特殊情形已在第 19 章中讨论过，而庞加莱 e 群的情形将在第 42 章中讨论。

对于一般的交换群 $N$，并不具备海森堡群那种简化特性，即其不可约表示的唯一性。另一方面，尽管 $N$ 会有许多不可约表示，它们全都是一维的。因此，$N$ 的表示集合获得了自身的群结构，同样是交换的，并且可以定义：

定义（特征标群）

对于交换群 $N$，令 $\hat{N}$ 为 $N$ 的特征标集合，即函数

$$\alpha :N\to \mathbf{C}$$

满足同态性质

$$\alpha (n_1{n}_2)=\alpha (n_1)\alpha (n_2)$$

$\hat{N}$ 的元素构成一个群，其乘法为

$$({\alpha }_1{\alpha }_2)(n)={\alpha }_1(n){\alpha }_2(n)$$

当 $N$ 是李群时，我们将只关注在 $N$ 上可微的特征标。我们实际上只需要 $N={\mathbf{R}}^d.$ 的情形，其中我们已经看到，可微不可约表示是一维的，并且由

$${\alpha }_{\mathbf{p}}(\mathbf{a})=e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{a}}$$

其中 $\mathbf{a}\in N$ 。因此，此情形下的特征标群是 $\hat{N}={\mathbf{R}}^d$ ，其元素由向量 $p$ 标记。

对于半直积 $N\times K$，对每个 $k\in K$，我们将有一个 $N$ 的自同构 ${\Phi }_k$。由这个对 $N.$ 的作用，我们得到对 $N_{:}$ 上函数的一个诱导作用，特别是对 $\hat{N}$ 的元素，通过

$${\hat{\Phi }}_k:\alpha \in \hat{N}\to {\hat{\Phi }}_k(\alpha )\in \hat{N}$$

其中 ${\hat{\Phi }}_k(\alpha )$ 是 $\hat{N}$ 中满足下式的元素

$${\hat{\Phi }}_k(\alpha )(n)=\alpha ({\Phi }_k^{-1}(n))$$

对于 $N={\mathbf{R}}^d$ 的情形，我们有

$${\hat{\Phi }}_k({\alpha }_{\mathbf{p}})(\mathbf{a})=e^{i\mathbf{p}\cdot {\Phi }_k^{-1}(\mathbf{a})}=e^{i({\Phi }_k^{-1}{)}^T(\mathbf{p})\cdot \mathbf{a}}$$

因此

$${\hat{\Phi }}_k({\alpha }_{\mathbf{p}})={\alpha }_{({\Phi }_k^{-1}{)}^T(\mathbf{p})}$$

当$K$通过正交变换作用于$N={\mathbf{R}}^d,{\Phi }_k^T={\Phi }_k^{-1}$时，因此

$${\hat{\Phi }}_k({\alpha }_{\mathbf{p}})={\alpha }_{{\Phi }_k(\mathbf{p})}$$

为分析 $(\pi ,V)$ 的表示 $N\times K$，可以先从只关注 $N$ 作用量入手，将 $V$ 分解为子空间 $V_{\alpha }$，其中 $N$ 按 $\alpha$ 作用。当 $v\in V$ 属于子空间 $V_{\alpha }$ 时

$$\pi (n,1)v=\alpha (n)v$$

通过 $K$ 作用将把这个子空间按以下方式变为另一个子空间：

定理

定理。

$$v\in V_{\alpha }⟹\pi (0,k)v\in V_{{\hat{\Phi }}_k(\alpha )}$$

证明。利用第18章中半直积的定义可以证明，群的乘法满足

$$(0,k^{-1})(n,1)(0,k)=({\Phi }_{k^{-1}}(n),1)$$

利用这一点，可得

$$\begin{array}{rl}\pi (n,1)\pi (0,k)v& =\pi (0,k)\pi (0,k^{-1})\pi (n,1)\pi (0,k)v\\ & =\pi (0,k)\pi ({\Phi }_{k^{-1}}(n),1)v\\ & =\pi (0,k)\alpha ({\Phi }_{k^{-1}}(n))v\\ & ={\hat{\Phi }}_k(\alpha )(n)\pi (0,k)v\end{array}$$

对每个 $\alpha \in \hat{N}$，可以考虑它在 $K$ 经 ${\hat{\Phi }}_k$ 作用下的轨道，这将给出一个子集 ${\mathcal{O}}_{\alpha }\subset \hat{N}$。由上述定理可知，若 $V_{\alpha }\ne 0.$，则对 $\beta \in {\mathcal{O}}_{\alpha },$ 也将有 $V_{\beta }\ne 0$，因此刻画表示 $V$ 的一个信息是借此得到的轨道集合。

$\alpha$ 还定义了一个子群 $K_{\alpha }\subset K$，它由那些在 $\hat{N}$ 上的作用保持 $\alpha$ 不变的群元素组成：

定义（稳定子群或小群）

由满足以下条件的元素 $k\in K$ 组成的子群 $K_{\alpha }\subset K$：

$${\hat{\Phi }}_k(\alpha )=\alpha$$

对给定的 $\alpha \in \hat{N}$，称为稳定子群（数学家的叫法）或小子群（物理学家的叫法）。

群 $K_{\alpha }$ 将作用在子空间 $V_{\alpha }$ 上，而 $K_{\alpha }$ 的这个表示是可用于刻画表示的第二条信息。

在欧氏群$E(2)$的情形中，我们发现非零轨道${\mathcal{O}}_{\alpha }$是圆，而群$K_{\alpha }$是平凡的。对于$E(3)$，非零轨道是球面，其中$K_{\alpha }$是$SO(3)$的$SO(2)$子群（一个随$\alpha$变化的子群）。在这些情形中，我们发现我们在单分量薛定谔方程解空间上对$E(2)$或$E(3)$的表示构造，在傅里叶变换下对应于轨道${\mathcal{O}}_{\alpha }.$上函数的表示。我们还在$E(3)$情形中发现，使用多分量波函数给出了新的表示，对应于轨道${\mathcal{O}}_{\alpha }$的选择以及$K_{\alpha }=SO(2)$的不可约表示的选择。我们没有证明这一点，但当单个轨道${\mathcal{O}}_{\alpha }$出现时（带有遍历的$K$作用），这一构造给出一个不可约表示，其中$K_{\alpha }$在$V_{\alpha }$上有一个不可约表示

我们在此不再进一步探讨一般理论，但可以证明，对于轨道 ${\mathcal{O}}_{\alpha }$ 的每一种选择以及 $K_{\alpha }$ 的一个不可约表示，都会出现 $N\times K$ 的不同不可约表示。构造这些表示的一种方法是将其作为适当波动方程的解空间，而该波动方程对应于一个卡西米尔算符的特征值方程。一般来说，随后必须施加其他“附加条件”，以挑选出一个解的子空间，使其给出 $N⋊K;$ 的一个不可约表示；这对应于其他卡西米尔算符的存在。一般理论的另一部分涉及以这种方式产生的表示的酉性问题，这将要求从 $K_{\alpha }$ 的一个酉的不可约表示出发。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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