25.1 多自由度

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迄今为止，我们一直在处理单个物理自由度的简单情形，即一对满足海森堡关系 $[Q, P] = i 1$ 的位置与动量算符 $(Q, P)$ ，或一对满足 $[a, a^{†}] = 1$ 的伴随算符 $a, a^{†}$ 。通过取状态空间 $F_{:}$ 的张量积以及我们的算符的 $d$ 个副本，其中每个算符作用于张量积的不同因子上，我们可以轻松地将其推广到任意数量 $d$ 的自由度。我们的新状态空间将是

H = F_{d} = dtimes F \otimes \dots \otimes F

我们将会有算符

Q_{j}, P_{j} j = 1, \dots, d

满足

[Q_{j}, P_{k}] = i δ_{j k} 1, [Q_{j}, Q_{k}] = [P_{j}, P_{k}] = 0

这里 $Q_{j}$ 和 $P_{j}$ 以通常方式作用于张量积的第 $j^{;}$ 项，而对其他项则平凡地作用。

我们于是通过下式定义湮灭算符与产生算符

a_{j} = \frac{1}{2} (Q_{j} + i P_{j}), a_{j}^{†} = \frac{1}{2} (Q_{j} - i P_{j}), j = 1, \dots, d

这些满足 $fy$ ：

定义（正则对易关系）

正则对易 $r e -$ 关系 $(o f t e n$ 缩写为 CCR）是
$[a_{j}, a_{k}^{†}] = δ_{j k} 1, [a_{j}, a_{k}] = [a_{j}^{†}, a_{k}^{†}] = 0$

在Bargmann-Fock表示中， $H = F_{d}$ 是 $d$ 个复变量 $z_{j}$ 的全纯函数空间（在22.4的 $d$ 维版本中具有有限范数），并且我们有

a_{j} = \frac{\partial}{\partial z _{j}}, a_{j}^{†} = z_{j}

对于 $d$ 个自由度的谐振子哈密顿算子将是

H = \frac{1}{2} j = 1 \sum d (P_{j}^{2} + Q_{j}^{2}) = j = 1 \sum d (a_{j}^{†} a_{j} + \frac{1}{2}) (25.1)

其中应当记住，每个自由度可以单独重新标度，从而允许不同自由度具有不同的参数 $ω$ 。能量算符和粒子数算符的本征态将写作

∣ n_{1}, \dots, n_{d} ⟩

其中

a_{j}^{†} a_{j} ∣ n_{1}, \dots, n_{d} ⟩ = N_{j} ∣ n_{1}, \dots, n_{d} ⟩ = n_{j} ∣ n_{1}, \dots, n_{d} ⟩

对于 $d = 3$ ，谐振子问题是第 21 章所述中心势问题的一个例子，并将在 25.4.2 节中更详细地讨论。它具有 $S O (3)$ 对称性，其角动量算子与哈密顿算子对易，并且能量本征态空间可以组织为不可约 $S O (3)$ 表示。在薛定谔表示中，态位于 $H = L^{2} (R^{3})$ 中，由可以写成直角坐标或球坐标的波函数描述，而哈密顿算子是二阶微分算子。在巴格曼-福克表示中， $F_{3}$ 中的态由 3 个复变量的全纯函数描述，算符由湮灭算符和产生算符的乘积给出。哈密顿算子在不计常数的情况下就是数算子，其能量本征态为齐次多项式（以数算子的本征值作为它们的次数）。

或者 $P_{j}, Q_{j}$ 或 $a_{j}, a_{j}^{†}$ 与恒等算符一起将给出海森堡李代数 $h_{2 d + 1}$ 在 $H,$ 上的一个表示，并通过指数化给出海森堡群 $H_{2 d + 1}$ 的一个表示。这些算符的二次组合将给出李代数 $sp (2 d, R)$ 的一个表示，该表示指数化为 $S p (2 d, R)$ 的一个双覆盖的metaplectic表示。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 276、277、278、279、280、281、282、283、284、285、286、287、288、289

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：6f6c0f503fde76c786931874aca8fc202553643337d5228085aec8afe5b7df02

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