25 辛表示与湮灭算符和产生算符，任意 d

在本章中，我们将从第24章的$d=1$情形转向任意$d$的一般情形。$d$个湮灭算符与产生算符的选择挑出一个不混合湮灭算符与产生算符的变换的 distinguished 子群$U(d)\subset Sp(2d,\mathbf{R})$，而 metaplectic 表示给出该群的一个双重覆盖的表示。我们将看到，对湮灭算符与产生算符的乘积进行正规排序会把它变成$U(d)$本身（而非双重覆盖）的表示。这样，a $U(d)$在有限维相空间上的作用给出的算符，在$d$维谐振子的态空间上提供了$U(d)$的无限维表示。

这种将经典相空间的酉对称性转化为量子态空间上对称群的酉表示的方法，在此处被极为详细地阐述，不仅因为它适用于像$d$维谐振子这样的简单量子系统，还因为它在后续量子场论的研究中将被证明是基础性的。在这类理论中，所关注的可观测量将是李代数表示的算符，由湮灭算符与产生算符的二次组合构成。这些来源于本章中的构造，应用于相空间上的酉群作用（在量子场论情形中，该相空间将是无限维的）。

使用这些方法研究$d$维量子谐振子时，我们将详细看到，在$d=2$的情形下，群$U(2)\subset Sp(4,\mathbf{R})$与哈密顿算子对易，因此作为保持谐振子态空间上能量特征子空间的对称性作用。这给出了我们在第8章研究过的所有$SU(2)\subset U(2)$不可约表示的相同构造。$d=3$的情形对应于三维各向同性二次中心势的物理例子，其中旋转群作为与哈密顿算子对易的对称性子群$U(3)\subset Sp(6,\mathbf{R})$的子群$SO(3)$作用于态空间。这给出了用湮灭算符和产生算符构造角动量算子的方法。

English contents

本章目录

• 25.1 多自由度
• 25.2 相空间上的复坐标与 U(d) ⊂ Sp(2d, R)
• 25.3 元辛表示与 U(d) Sp(2d, R)
• 25.4 在 d=2 和 3 中的例子
  • 25.4.1 两个自由度与 $SU(2)$
  • 25.4.2 三个自由度与 $SO(3)$
• 25.5 有限维中的正规序与反常
• 25.6 进一步阅读

上一章：24 辛表示与湮灭算符和产生算符，d = 1

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来源版本：2025-10-20

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