25.2 相空间上的复坐标与 U(d) ⊂ Sp(2d, R)

25.2 相空间上的复坐标与 U(d) ⊂ Sp(2d, R)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 酉群 · 李代数 · 酉表示 · 李括号 · 复化

如同 $d=1$ 情形，湮灭算符和产生算符可视为相空间上复化坐标 $z_j,{\bar{z}}_j$ 的量子化，其标准选择由下式给出

$$z_j=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_j-i{p}_j),{\overline{z}}_j=\frac{1}{\sqrt{2}}(q_j+i{p}_j)$$

这样选择 $z_j,{\bar{z}}_j$ 可将复化李代数 sp(2d, $C$)（通常，李括号即泊松括号）分解为如下三个李子代数：

• 一个以 $z_j{z}_k$ 为基元素的李代数。这样的基元素共有 $\frac{1}{2}(d^2+d)$ 个互不相同的元素。这是一个交换李代数，因为任意两个基元素的泊松括号均为零。

• 一个以 ${\overline{z}}_j{\overline{z}}_k$ 为基元素的李代数子代数。同样，它的维数为 $\frac{1}{2}(d^2+d)$，并且是一个交换李代数子代数。

• 一个以 $z_j{\overline{z}}_k$ 为基元素的李代数，其维数为 $d^2$ 。计算泊松括号可得

$$\begin{array}{rl}\{z_j{\overline{z}}_k,z_l{\overline{z}}_m\}& =z_j\{{\overline{z}}_k,z_l{\overline{z}}_m\}+{\overline{z}}_k\{z_j,z_l{\overline{z}}_m\}\\ & =-i{z}_j{\overline{z}}_m{\delta }_{kl}+i{z}_l{\overline{z}}_k{\delta }_{jm}\end{array}\text{\hspace{1em}(25.2)}$$

在本章中，我们将聚焦于第三个子代数以及由其元素量子化所产生的算符。

取所有复线性组合，该子代数可与所有 $d$ 乘 $d$ 复矩阵构成的李代数 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 等同。注意到若 $E_{jk}$ 是在第 $j$ 行与第 $k$ 列处为 1、其余位置为零的矩阵，则可得

$$[E_{jk},E_{lm}]=E_{jm}{\delta }_{kl}-E_{lk}{\delta }_{jm}$$

而这些构成了 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 的一组基。通过以下方式识别基：

$$i{z}_j{\overline{z}}_k\leftrightarrow E_{jk}$$

给出李代数的同构。 这 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 是……的复化 $\mathfrak{u}(d)$ , 酉群的李代数 $U(d)$ . 的元素 $\mathfrak{u}(d)$ 将对应于， 等价地， 斜伴随矩阵， 或二次函数的实线性组合

$$z_j{\overline{z}}_k+{\overline{z}}_j{z}_k,i(z_j{\overline{z}}_k-{\overline{z}}_j{z}_k)$$

在 $M$ 上。

在16.1.2节中我们看到，当把李代数$\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$与相空间坐标$q_j,p_j$中的二阶齐次多项式等同起来时，辛群在相空间上的作用对应的矩映射就是恒等映射。我们可以复化，并将sp $(2d,\mathbf{C})$与复值二阶齐次多项式等同起来，我们用复化坐标$z_j,{\bar{z}}_j$来表示这些多项式。矩映射仍然是恒等映射，并且在我们所关注的子李代数上，它明确地由下式给出

$$A\in \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})\to {\mu }_A=i\sum _{j,k}{z}_j{A}_{jk}{\overline{z}}_k\text{\hspace{1em}(25.3)}$$

我们同时可以考虑海森堡李代数的复化，使用$z_j$和${\overline{z}}_j,$的线性函数，这些函数与二阶齐次函数之间的泊松括号给出了$\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$在${\mathfrak{h}}_{2d+1}$上的导子作用的复化版本。

我们有（将定理 16.2 和 16.3 的以下版本复化并限制到 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})\subset \mathfrak{sp}(2d,\mathbf{C}))$

定理

25.1。方程 25.3 的映射是一个李代数同态，即

$$\left\{{\mu }_A,{\mu }_{A^{\prime }}\right\}={\mu }_{[A,A^{\prime }]}$$

${\mu }_A$ 满足（对于分量为 $z_1,\dots ,z_d)$ 的列向量 $z$

$$\{{\mu }_A,\overline{\mathbf{z}}\}=-A\overline{\mathbf{z}},\{{\mu }_A,\mathbf{z}\}=A^T\mathbf{z}\text{\hspace{1em}(25.4)}$$

证明。利用25.2，有

$$\begin{array}{rl}\{{\mu }_A,{\mu }_{A^{\prime }}\}& =-\sum _{j,k,l,m}\{z_j{A}_{jk}{\overline{z}}_k,z_l{A}_{lm}^{\prime }{\overline{z}}_m\}\\ & =-\sum _{j,k,l,m}{A}_{jk}{A}_{lm}^{\prime }\{z_j{\overline{z}}_k,z_l{\overline{z}}_m\}\\ & =i\sum _{j,k,l,m}{A}_{jk}{A}_{lm}^{\prime }(z_j{\overline{z}}_m{\delta }_{kl}-z_l{\overline{z}}_k{\delta }_{jm})\\ & =i\sum _{j,k}{z}_j[A,A^{\prime }{]}_{jk}{\overline{z}}_k={\mu }_{[A,A^{\prime }]}\end{array}$$

为证明 25.4，计算

$$\begin{array}{rl}\{{\mu }_A,{\overline{z}}_l\}& =\{i\sum _{j,k}{z}_j{A}_{jk}{\overline{z}}_k,{\overline{z}}_l\}=i\sum _{j,k}{A}_{jk}\{z_j,{\overline{z}}_l\}{\overline{z}}_k\\ & =-\sum _j{A}_{lj}{\overline{z}}_j\end{array}$$

和

$$\begin{array}{rl}\{{\mu }_A,z_l\}& =\{i\sum _{j,k}{z}_j{A}_{jk}{\overline{z}}_k,z_l\}=i\sum _{j,k}{z}_j{A}_{jk}\{{\overline{z}}_k,z_l\}\\ & =\sum _k{z}_k{A}_{kl}\end{array}$$

注意，这里我们写出的公式针对的是 $A\in \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$，即任意的复 $d$ 乘 $d$ 矩阵。只有当 $A\in \mathfrak{u}(d)$，即斜伴随的 $(\overline{A^T}=-A)$ 矩阵时，${\mu }_A$ 才会是实值矩映射，位于实李代数 $sp(2d,\mathbf{R})$ 中，并在量子化后于状态空间上给出酉表示。对于这样的 $A$，我们可以将关系 25.4 写成 16.22 的一个（复化）例子。

$$\left\{{\mu }_A,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overline{\mathbf{z}}}{\mathbf{z}}\right)\right\}=\left(\begin{array}{cc}\overline{A^T}& 0\\ 0& A^T\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overline{\mathbf{z}}}{\mathbf{z}}\right)$$

标准谐振子哈密顿算子

$$h=\sum _{j=1}^d{z}_j{\overline{z}}_j\text{\hspace{1em}(25.5)}$$

它位于该$\mathfrak{u}(d)$子代数中（即情形$A=-i1)$，并且它与该子代数其余部分的泊松括号为零。它给出了一维$\mathfrak{u}(1)$子代数的一个基元素，该元素与$\mathfrak{u}(d)$子代数的其余部分对易。

虽然我们在此不深入讨论作为$z_j{z}_k$与${\overline{z}}_j{\overline{z}}_k$的线性组合的多项式会发生什么细节，但值得指出关于这些的一个令人困惑之处。回忆在第16章中，我们对具有块对角形式的元素$L\in \mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$找到了矩映射${\mu }_L=-\mathbf{q}\cdot A\mathbf{p}$

$$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& -A^T\end{array}\right)$$

其中 $A$ 是一个实 $d$ 乘 $d$ 矩阵，因此属于 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{R})$。该分块分解对应于将 $M$ 的基向量分解为两个集合 $q_j$ 和 $p_j$。这里我们已进行了复化，并相对于一个不同的分解来工作，即将基向量 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 分解为两个集合 $z_j$ 和 ${\overline{z}}_j.$。此情形下的矩阵 $A$ 是复的、斜伴随的，并且属于一个不同的非同构李子代数，即 $\mathfrak{u}(d)$ 而非 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{R})$。对于这一点的最简单例子 $d=1$，区别在于 $SL(2,\mathbf{R})$ 的 $R$ 李子群（见第 20.3.4 节），其矩映射为

$$-qp=\mathrm{Im}(z^2)=\frac{1}{2i}(z^2-{\overline{z}}^2)$$

以及 $U(1)$ 子群（见第 20.3.2 节），其动量映射为

$$\frac{1}{2}(q^2+p^2)=z\overline{z}$$

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