26.2 相容复结构与正性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 酉群

我们关注的是带有辛结构 $Ω,$ （一个非退化反对称双线性形式）的向量空间 $M$ 。为了成功地将复结构 $J$ 用于量子化，结果将表明它必须在以下意义上与 Ω 相容：

定义（相容复结构）

若 $M$ 上的一个复结构与 Ω $i f$ 相容，则称该复结构为相容复结构。

$Ω (J v_{1}, J v_{2}) = Ω (v_{1}, v_{2}) (26.5)$

等价地， $J \in S p (2 d, R)$ ，即保持Ω的 $M$ 的线性变换群。

标准复结构 $J = J_{0}$ 与 $Ω_{:}$ 相容，因为（处理 $d = 1$ 情形，该情形易于推广，并使用方程 16.2 和 26.3）

Ω (J_{0} (c_{q} q + c_{p} p), J_{0} (c_{q}^{'} q + c_{p}^{'} p)) = ((01 - 1 0) (c_{q} c_{p}))^{T} (0 - 1 10) ((01 - 1 0) (c_{q}^{'} c_{p}^{'})) = (c_{q} c_{p}) (0 - 1 10) (0 - 1 10) (01 - 1 0) (c_{q}^{'} c_{p}^{'}) = (c_{q} c_{p}) (0 - 1 10) (c_{q}^{'} c_{p}^{'}) = Ω (c_{q} q + c_{p} p, c_{q}^{'} q + c_{p}^{'} p)

更简单地说， $J_{0}$ 的矩阵显然属于 $S L (2, R) = S p (2, R)$

注意，群 $S p (2 d, R)$ 的元素 $g$ 通过以下方式作用在相容复结构的集合上：

J \to g J g^{- 1} (26.6)

这将复结构映为复结构，因为

(g J g^{- 1}) (g J g^{- 1}) = g J^{2} g^{- 1} = - 1

并且保持相容性条件，因为如果 $J \in S p (2 d, R)$ ，则 $g J g^{- 1}$

一个复结构 $J$ 可以由使其保持不变的 $S p (2 d, R)$ 1 的子群来刻画，其中条件 $g J g^{- 1} = J$ 等价于交换性条件 $g J = J g$ 。对于 $d = 1$ 和 $J = J_{0}$ 的情形，这变为

(a c b d) (01 - 1 0) = (01 - 1 0) (a c b d)

因此

(b d - a - c) = (- c a - d b)

这意味着 $b = - c$ 和 $a = d .$ 。保持 $J_{0}$ 不变的 $S L (2, R)$ 的元素将具有形式 2

(a - b b a)

且行列式为 1，因此 $a^{2} + b^{2} = 1$ 。这是 $S L (2, R)$ 中形如以下形式的矩阵的 $U (1) = S O (2)$ 子群

(cos θ - sin θ sin θ cos θ) = e^{θ Z}

$J$ 的其他选择将对应于 $S L (2, R)$ 的其他 $U (1)$ 子群，而与 $J_{0}$ 共轭的相容复结构空间可等同于陪集空间 $S L (2, R) / U (1)$ 。在更高维数中，与 $J_{0}$ 交换的 $S p (2 d, R)$ 的子群同构于酉群 $U (d)$ ，而与 $J_{0}$ 共轭的相容复结构空间为 $S p (2 d, R) / U (d)$

甚至在我们选择复结构 $^{J,}$ 之前，我们就可以用 $Ω$ 在 $M \otimes C$ 上定义一个不定厄米形式：

定义（$\mathcal { M } \otimes \mathbf { C } )

$上的不定厄米形式。对于$ u _ { 1 } , u _ { 2 } \in \mathcal { M } \otimes \mathbf { C }$

$⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = i Ω (\overline{u}_{1}, u_{2}) (26.7)$

是 $M \otimes C$ 上的一个不定厄米形式

这显然对第一个变量是反线性的，对第二个变量是线性的，并且满足厄米性质，因为

⟨ u_{2}, u_{1} ⟩ = i Ω (\overline{u}_{2}, u_{1}) = - i Ω (u_{1}, \overline{u}_{2}) = \overline{i Ω (\overline{u}_{1}, u_{2})} = \overline{⟨ u_{1}, u_{2} ⟩}

将 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 限制在 $M_{J}^{+}$ 上，并利用 $M$ 与 $M_{J}^{+}$ $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 的等同26.1，便得到 $M$ 上的一个复值双线性形式。任意 $u \in M_{J}^{+}$ 均可写成

u = \frac{1}{2} (v - i J v) (26.8)

对于某个非零的 $v \in M$ ，因此

⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = i Ω (\overline{u}_{1}, u_{2}) = i \frac{1}{2} Ω (v_{1} + i J v_{1}, v_{2} - i J v_{2}) = \frac{1}{2} (- Ω (J v_{1}, v_{2}) + Ω (v_{1}, J v_{2})) + \frac{i}{2} (Ω (v_{1}, v_{2}) + Ω (J v_{1}, J v_{2})) = Ω (v_{1}, J v_{2}) + i Ω (v_{1}, v_{2}) (26.9)

其中我们利用了 $J$ 与 $J^{2} = - 1$ 的相容性来得到

Ω (J v_{1}, v_{2}) = Ω (J^{2} v_{1}, J v_{2}) = - Ω (v_{1}, J v_{2})

因此，我们可以将 Ω 在 $M$ 上恢复为形式 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 的虚部

该形式 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 在 $M \otimes C$ 上不是正定或负定的。然而，可以将注意力限制在那些在 $M_{J}^{+}$ 上给出正定形式的 $J$ 上。

定义（正相容复结构）

若 $M$ 上的复结构 $J$ 满足相容性条件 26.5（即属于 $S p (2 d, R),$ ，并且满足由方程 26.9 等价的诸正性条件之一），则称该复结构与 Ω 正相容。

$⟨ u, u ⟩ = i Ω (\overline{u}, u) > 0 (26.10)$

对于非零的 $u \in M_{J}^{+}$ 。或

Ω (v, J v) > 0 (26.11)

对于非零的 $v \in M$

对于这样的 a，限制在 $M_{J}^{-}$ 上的 $J, ⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 将是负定的，因为

Ω (u, \overline{u}) = - Ω (\overline{u}, u)

而复共轭交换 $M_{J}^{+}$ 与 $M_{J}^{-}$ 。标准复结构 $J_{0}$ 是正的，因为

⟨ z_{j}, z_{k} ⟩ = i Ω (\overline{z}_{j}, z_{k}) = i {\overline{z}_{j}, z_{k}} = δ_{j k}

而 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 因此是 $M_{J_{0}}^{+}$ 上的标准厄米形式，对于该形式， $z_{j}$ 是标准正交的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

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