26.1 复结构与相空间

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 复化

使用薛定谔表示对相空间 $M = R^{2 d}$ 进行量子化，得到海森堡李代数 $h_{2 d + 1}$ 的一个酉李代数表示 $Γ_{S}^{'}$ ，该表示将相空间上的 $q_{j}$ 和 $p_{j}$ 坐标函数映为 $H_{S} = L^{2} (\overset{ˉ}{R}^{d})$ 上的算符 $- i Q_{j}$ 和 $- i P_{j}$ 。这涉及一种选择，即把态取为 $q_{j}$ 的函数，或者（利用傅里叶变换）取为 $p_{j}$ 的函数。事实证明，这是一个普遍现象：量子化需要在相空间上选择某种超出泊松括号的额外结构。

对于谐振子的情形，我们在第22章中发现，量子化最方便的方法是使用湮灭算符和产生算符，这涉及在相空间上选择一种不同类型的额外结构。在那里，我们在相空间上引入了复坐标，做出了选择

z_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} - i p_{j}), \overline{z}_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} + i p_{j})

随后使用产生算符 $a_{j}^{†},$ 对 $z_{j}$ 进行量子化，并使用湮灭算符 $a_{j}$ 对 $\overline{z}_{j}$ 进行量子化。在 Bargmann-Fock 表示中，状态空间是复变量 $z_{j}$ 的函数空间，我们有

a_{j} = \frac{\partial}{\partial z _{j}}, a_{j}^{†} = z_{j}

并且存在一个特殊状态，即常函数，它被所有的 $a_{j}$ 所湮灭

本节将引入实向量空间上复结构的概念，这种结构刻画了引入复坐标 $z_{j}, \overline{z}_{j}$ 从而引入湮灭算符与产生算符的可能方式。复结构的抽象概念可以形式化如下。给定任意实向量空间 $V = R^{n}$ ，我们已经看到，对 $V$ 中的向量取复线性组合会得到一个复向量空间 $V \otimes C$ ，即 $V .$ 的复化，而它可以与 $C^{n}$ 等同，后者是维数为其两倍的实向量空间。当 $n = 2 d$ 为偶数时，还有另一种方法将 $V = R^{2 d}$ 变为复向量空间，即利用以下附加信息：

定义（复结构）

实向量空间 $V$ 上的复结构是一个线性算符
$J : V \to V$

使得

J^{2} = - 1

给定这样一对 $(V = R^{2 d}, J)$ ， $V$ 中向量的复线性组合可以分解为 $J$ 作用为 $i$ 的那些以及作用为 − $i$ 的那些（由于 $J^{2} = - 1$ ，其特征值必为 ±i），因此我们有

V \otimes C = V_{J}^{+} \oplus V_{J}^{-}

其中 $V_{J}^{+}$ 是 $V \otimes C$ 上算符 $J$ 的 + $i$ 特征子空间，而 $V_{J}^{-}$ 是 $- i$ 特征子空间。注意，我们已利用复线性性将 $J$ 在 $V$ 上的作用延拓为在 $V \otimes C$ 上的作用。复共轭将 $V_{J}^{+}$ 的元素映到 $V_{J}^{-}$ ，反之亦然。因此， $J$ 的选择给了我们两个复维数为 $d$ 的复向量空间 $V_{J}^{+}$ 和 $V_{J}^{-}$ ，它们通过此复共轭相关联。

由于

J (v - i J v) = i (v - i J v)

对任意 $v \in V$ ，实向量空间 $V$ 可通过该映射与复向量空间 $V_{J}^{+}$ 等同。

v \in V \to \frac{1}{2} (v - i J v) \in V_{J}^{+} (26.1)

可以将对 $(V, J)$ 视为赋予 $V$ 复向量空间的结构，其中 $J$ 提供乘以 $i$ 的运算。类似地，取

v \in V \to \frac{1}{2} (v + i J v) \in V_{J}^{-} (26.2)

将 $V$ 与 $V_{J}^{-}$ 等同起来，此时 $J$ 给出乘以 $- i . V_{J}^{+}$ 的运算，而 $V_{J}^{-}$ 通过改变复结构 $J t o - J .$ 被互换。

对于量子化的研究，我们想要在其上选取复结构的实向量空间是对偶相空间 $M = M^{*}$ ，因为正是这个空间的元素处于一个海森堡代数中，并通过量子化被变为算符。将存在一个分解

M \otimes C = M_{J}^{+} \oplus M_{J}^{-}

而量子化将把 $M_{J}^{+}$ 的元素变为产生算符的线性组合，把 $M_{J}^{-}$ 的元素变为湮灭算符的线性组合。

复结构的标准选择是取 $J = J_{0}$ ，其中 $J_{0}$ 是线性算符，它作用在 $M$ 的坐标基向量 $q_{j}, p_{j}$ 上，通过

J_{0} q_{j} = p_{j}, J_{0} p_{j} = - q_{j}

做出选择

z_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} - i p_{j})

蕴含

J_{0} z_{j} = \frac{1}{2} (p_{j} + i q_{j}) = i z_{j}

而 $z_{j}$ 是 $M_{J_{0}}^{+}$ 的基元素（在复数域上）。复共轭

\overline{z}_{j} = \frac{1}{2} (q_{j} + i p_{j})

给出 $M_{J_{0}}^{-}$ 的基元素

相对于所选基 $q_{j}, p_{j}$ ，复结构可以写成一个矩阵。对于 $J_{0}$ 的情形以及对于 $d = 1$ ，在 $M$ 的任意元素上， $J_{0}$ 的作用是

J_{0} (c_{q} q + c_{p} p) = c_{q} p - c_{p} q

因此， $J_{0}$ 关于基 $(q, p)$ 的矩阵形式为

J_{0} (c _{p} c _{q}) = (01 - 1 0) (c _{p} c _{q}) = (c _{q} - c _{p}) (26.3)

或者，作用在基向量上的是转置

J_{0} (p q) = (0 - 1 10) (p q) = (- q p) (26.4)

注意，在复化之后，有三种不同的方式将原来的 $M$ 与 $M \otimes C$ 的一个子空间等同起来：

$M$ 通过方程 26.1 与 $M_{J_{0}}^{+}$ 等同，其中基元素 $q_{j}$ 映到 $z_{j}$ ，而 $p_{j}$ 映到 $i z_{j}$

$M$ 通过方程 26.2 与 $M_{J_{0}}^{-}$ 等同，其中基元素 $q_{j}$ 映到 $\overline{z}_{j} .$ ，而 $p_{j} to - i \overline{z}_{j}$

$M$ 与 $M_{J_{0}}^{+} \oplus M_{J_{0}}^{-}$ 中在共轭下不变的元素等同，其中基元素 $q_{j}$ 映到 $\frac{1}{2} \overset{ˉ}{(z_{j} + \overline{z}_{j})}$ ，而 $p_{j} to \frac{i}{2} (z_{j} -$ $\overline{z}_{j})$

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 290、291、292、293、294、295、296、297、298、299、300、301、302、303、304

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：3b238588245d4c885cb260509b0aa88f50298babece889973a8caaad1a41ff0f

译稿产物 SHA-256：3f76fe619a121105cca73577c35305dba05efd7d0a8dcb612db3df6f0154ca72

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