26.3 复结构与量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 李括号 · 复化

回忆一下，海森堡李代数是 $M$ 上线性函数与常数函数的李代数，因此可以被视为

h_{2 d + 1} = M \oplus R

其中 $R$ 分量是常函数。李括号是泊松括号。复化后得到

h_{2 d + 1} \otimes C = (M \oplus R) \otimes C = (M \otimes C) \oplus C = M_{J}^{+} \oplus M_{J}^{-} \oplus C

因此， $h_{2 d + 1} \otimes C$ 的元素可以写成对 $(u, c) = (u^{+} + u^{-}, c)$ ，其中

u \in M \otimes C, u^{+} \in M_{J}^{+}, u^{-} \in M_{J}^{-}, c \in C

这个复化李代数仍然是李代数，具有李括号关系

[(u_{1}, c_{1}), (u_{2}, c_{2})] = (0, Ω (u_{1}, u_{2})) (26.12)

以及由实李代数通过复线性延拓到 $M$ 上的反对称双线性形式Ω。

对于每个 $^{J,}$ ，我们希望找到一种量子化，将 $M_{J}^{+}$ 的元素映为产生算符的线性组合，将 $M_{J}^{-}$ 的元素映为湮灭算符的线性组合。这将给出复化李代数的一个表示

Γ_{J}^{'} : (u, c) \in h_{2 d + 1} \otimes C \to Γ_{J}^{'} (u, c)

若它满足李代数同态性质

[Γ_{J}^{'} (u_{1}, c_{1}), Γ_{J}^{'} (u_{2}, c_{2})] = Γ_{J}^{'} ([(u_{1}, c_{1}), (u_{2}, c_{2})]) = Γ_{J}^{'} (0, Ω (u_{1}, u_{2})) (26.13)

由于我们可以写出

(u, c) = (u^{+}, 0) + (u^{-}, 0) + (0, c)

其中 $u^{+} \in M_{J}^{+}$ 且 $u^{-} \in M_{J}^{-}$ ，我们有

Γ_{J}^{'} (u, c) = Γ_{J}^{'} (u^{+}, 0) + Γ_{J}^{'} (u^{-}, 0) + Γ_{J}^{'} (0, c)

注意，我们只期望 $Γ_{J}^{'}$ 是 $(u, c)$ 在实李 $h_{2 d + 1}$ 上的酉表示（其 $Γ_{J}^{'} (u, c)$ 为斜伴随算符）（即 $u^{+} = \overline{u^{-}}, c \in R)$ 。

对于 $J = J_{0}$ 的情形，李代数表示是在基元素上给出的

z_{j} \in M_{J_{0}}^{+}, \overline{z}_{j} \in M_{J_{0}}^{-}

由

Γ_{J_{0}}^{'} (0, 1) = - i 1, Γ_{J_{0}}^{'} (z_{j}, 0) = - i a_{j}^{†} = - i z_{j}, Γ_{J_{0}}^{'} (\overline{z}_{j}, 0) = - i a_{j} = - i \frac{\partial}{\partial z _{j}}

正是 Bargmann-Fock 表示 $Γ_{B F}^{'} ∣$ （见方程 22.5）。注意算符 $a_{j}$ 和 $a_{j}^{†}$ 不是斜伴随的，因此 $Γ_{J_{0}}^{'}$ 在整个李代数 $h_{2 d + 1} \otimes C$ 上不是酉的，而仅在由 $q_{j}, p_{j}, 1$ 的实线性组合构成的实子空间 $h_{2 d + 1}$ 上是酉的。

对于更一般的 $J$ 选择，我们首先取

Γ_{J}^{'} (0, c) = - i c 1 (26.14)

选取它使得其与表示的所有其他算符对易，并且对于实的 $c$ 给出斜伴随变换，从而给出酉表示。我们希望将 $Γ_{J}^{'} (u^{+}, 0)$ 构造为产生算符的线性组合，并将 $Γ_{J}^{'} (u^{-}, 0)$ 构造为湮灭算符的线性组合。方程 26.5 的相容性条件将确保 $Γ_{J}^{'} (u^{+}, 0)$ 对易，因为若 $u_{1}^{+}, u_{2}^{+} \in M_{J}^{+}$ ，则由 26.13 我们有

[Γ_{J}^{'} (u_{1}^{+}, 0), Γ_{J}^{'} (u_{2}^{+}, 0)] = Γ_{J}^{'} (0, Ω (u_{1}^{+}, u_{2}^{+})) = - i Ω (u_{1}^{+}, u_{2}^{+}) 1

和

Ω (u_{1}^{+}, u_{2}^{+}) = Ω (J u_{1}^{+}, J u_{2}^{+}) = Ω (i u_{1}^{+}, i u_{2}^{+}) = - Ω (u_{1}^{+}, u_{2}^{+}) = 0

$Γ_{J}^{'} (u^{-}, 0)$ 之间将依据本质上相同的论证相互对易。为看出 $^{J,}$ 上正性条件 26.10 的必要性，回忆湮灭算符与产生算符满足（对于 $d = 1)$ ）

[a, a^{†}] = 1

一个对应于

[- ia, - i a^{†}] = [Γ_{J_{0}}^{'} (\overline{z}, 0), Γ_{J_{0}}^{'} (z, 0)] = Γ_{J_{0}}^{'} (0, {\overline{z}, z}) = Γ_{J_{0}}^{'} (0, - i) = - 1

对易子采用相反符号将对应于交换a与 $a^{†}$ 的角色，此时态|0⟩满足 $a^{†} ∣0 ⟩ = 0$ ，且态空间中不存在满足 $a ∣ ψ ⟩ = 0$ 的态 $∣ ψ ⟩$ 。为了得到一个被所有湮灭算符湮灭的态|0⟩，以及一个具有非负特征值的总粒子数算符（从而得到一个具有正能谱的哈密顿算子），我们需要所有对易子 $[a_{j}, a_{j}^{†}]$ 都具有正号。

对于 $M_{J}^{+}$ 的任意一个可能的基元素 $u$ 的选择，由 26.13 和 26.14 可得，

[Γ_{J}^{'} (\overline{u}, 0), Γ_{J}^{'} (u, 0)] = Γ_{J}^{'} (0, Ω (\overline{u}, u)) = - i Ω (\overline{u}, u) 1 (26.15)

而 26.10 对 $J$ 的正性条件将确保用产生算符对这样的元素进行量子化会给出一个数算符特征值非负的表示。关于适当 $J :$ 的 Bargmann-Fock 构造，我们有如下一般结果

定理

给定 $M$ 上的一个正相容复结构 $J$ ，存在一个基 $z_{j}^{J} o f M_{J}^{+}$ ，使得 $h_{2 d + 1} \otimes C$ 的一个表示，对于实子代数 $h_{2 d + 1}$ 是酉的，由下式给出
$Γ_{J}^{'} (z_{j}^{J}, 0) = - i a_{j}^{†}, Γ_{J}^{'} (\overline{z}_{j}^{J}, 0) = - i a_{j}, Γ_{J}^{'} (0, c) = - i c 1$
其中 $a_{j}, a_{j}^{†}$ 满足常规对易关系，而 $\overline{z}_{j}^{J}$ 是 $o f z_{j}^{J}$ 的复共轭

证明。构造的概要如下：

在 $M$ 上通过 $(u, v)_{J} = Ω (u, J v)$ 在 $M$ 上定义一个正内积。由格拉姆-施密特正交归一化，存在由 $d$ 个向量 $q_{j}^{J}$ 组成的 span ${q_{j}} \subset M$ 的基，满足

(q_{j}^{J}, q_{k}^{J})_{J} = δ_{j k}

向量 $J q_{j}^{J}$ 也将是正交归一的，因为

(J q_{j}^{J}, J q_{k}^{J})_{J} = Ω (J q_{j}^{J}, J^{2} q_{j}^{J}) = Ω (q_{j}^{J}, J q_{j}^{J}) = (q_{j}^{J}, q_{k}^{J})_{J}

它们将与 $q_{j}^{J}$ 正交，因为

(J q_{j}^{J}, q_{k}^{J})_{J} = Ω (J^{2} q_{j}^{J}, q_{k}^{J}) = - Ω (q_{j}^{J}, q_{k}^{J})

并且 $Ω (q_{j}^{J}, q_{k}^{J}) = 0$ ，因为 $q_{j}$ 的任何线性组合的泊松括号都为零。

定义

z_{j}^{J} = \frac{1}{2} (q_{j}^{J} - i J q_{j}^{J})

$z_{j}^{J}$ 给出 $M_{J}^{+}$ 的一个复基，它们的复共轭 $\overline{z}_{j}^{J}$ 给出 $M_{J}^{-}$ 的一个复基

算符

Γ_{J}^{'} (z_{j}^{J}, 0) = - i a_{j}^{†} = - i z_{j}, Γ_{J}^{'} (\overline{z}_{j}^{J}, 0) = - i a_{j} = - i \frac{\partial}{\partial z _{j}}

满足所需的交换关系，并在实子代数 $h_{2 d + 1}$ 中 $(z_{j}^{J}, 0)$ 与 $(\overline{z}_{j}^{J}, 0)$ 的线性组合上给出一个酉表示

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

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