30.1 反交换生成元上多项式的格拉斯曼代数

30.1 反交换生成元上多项式的格拉斯曼代数

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 对偶空间

给定一个相空间 $M={\mathbf{R}}^{2d}$，通过对 $M$ 取多项式函数，就得到经典可观测量。它们由线性函数 $q_j,p_j,j=$ $1,\dots ,d,$ 生成，这些线性函数位于对偶空间 $\mathcal{M}=M^{\ast }$ 中。也可以改为从一个实向量空间 $V={\mathbf{R}}^n$ 出发，其中 $n$ 甚至不必为偶数，并再次考虑 $V_{:}$ 上线性函数构成的空间 $V^{\ast }$，但采用一种不同的乘法概念，即一种在 $V^{\ast }$ 的元素上反交换的乘法。使用这样的乘法，可以按照以下方式生成 $V$ 上多项式代数的反交换类似物，首先选取 $V^{\ast }$ 的一组基元素 ${\xi }_j$：

定义（格拉斯曼代数）

由实数域上生成的代数

由${\xi }_j,j=1,\dots ,n$，满足这些关系

$${\xi }_j{\xi }_k+{\xi }_k{\xi }_j=0$$

称为格拉斯曼代数。

注意，这些关系意味着生成元满足 ${\xi }_j^2=0$。还要注意，${\xi }_j$ 与 ${\xi }_k$ 的格拉斯曼代数乘积有时记作 ${\xi }_j\wedge {\xi }_k$。我们不会为格拉斯曼代数中的乘积使用不同的符号，而是依靠生成元的记号来分清什么是传统多项式代数 $(e.g.,q_j\mathrm{or}{p}_j)$ 的生成元，什么是格拉斯曼代数 $(e.g.,{\xi }_j)$ 的生成元。

格拉斯曼代数是第9.6节中讨论的$V$上反对称多重线性形式构成的代数${\Lambda }^{\ast }(V^{\ast })$，只不过我们选取了$V$的一组基，并用$V^{\ast }$的对偶基${\xi }_j$写出了定义。它有时也被称为“外代数”。这个代数在许多方面表现得像${\mathbf{R}}^n$上的多项式代数，但作为实向量空间它是有限维的，其基为

$$1,{\xi }_j,{\xi }_j{\xi }_k,{\xi }_j{\xi }_k{\xi }_l,\dots ,{\xi }_1{\xi }_2\dots {\xi }_n$$

对于指标 $j<k<l<\cdots$ · 取值 $1,2,\dots ,n$ 。与多项式一样，单项式由次数（乘积中生成元的个数）刻画，在此情形下该次数仅从 0 取到 $n$ 。$\bar{\mathbf{\Gamma }}{\mathbf{\Lambda }}^k({\mathbf{R}}^n)$ 是 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ 的子空间，由次数为 $k$ 的单项式的线性组合构成。

题外话（微分形式）。读者可能已经在 ${\mathbf{R}}^n$ 上微分形式的语境中见过格拉斯曼代数。物理学家将这些称为“反对称张量 ${fields}^{\prime \prime }$”，其给出方式是取外代数 ${\mathbf{\Lambda }}^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ 的元素，其系数不是常数，而是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的函数。这一构造在流形理论中很重要，其中在流形 $M$ 中的一点 $x$ 处，有切空间 $T_{x}M$ 及其对偶空间 $(T_{x}M{)}^{\ast }.A$；$M$ 上的一组局部坐标 $x_j$ 给出 $(T_{x}M{)}^{\ast }$ 的基元素，记作 dx_$j$，而微分形式在局部可以写成如下形式的项之和

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge \cdots \wedge d{x}_k\wedge \cdots \wedge d{x}_l$$

其中指标$j,k,l$满足$1\le j<k<l\le n$

数学的一条基本原理是，理解一个空间的好方法是借助其上的函数。我们这里所做的可以看作是从${\mathbf{R}}^n$构造出一种新的空间，其上函数代数为${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$，由相对于${\mathbf{R}}^n$的一组基的坐标函数${\xi }_j$生成。将传统几何推广到包含使这一切有意义的新类型空间，被称为“超几何”，但我们在此不打算深入这一主题。具有这种新几何的空间上有函数，但没有传统意义上的点，因为我们已经看到，不能问一个反交换函数在某一点的值是多少。

值得注意的是，可以在这种非传统空间上定义一种微积分的类似物，为反交换函数（即格拉斯曼代数的元素）引入导数和积分的类似物。对于 $n=1$ 的情形，任意函数是

$$F(\xi )=c_0+c_1\xi$$

并且可以取

$$\frac{\partial }{\partial \xi }F=c_1$$

对于较大的$n,$值，任意函数可以写成

$$F({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)=F_A+{\xi }_j{F}_B$$

其中 $F_A,F_B$ 是不依赖于所选 ${\xi }_j$ 的函数（通过利用反对易关系将 ${\xi }_j$ 一直移到左边，就得到 $F_B$）。然后可以定义

$$\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}F=F_B$$

这个导数算符具有许多与常规导数相同的性质，尽管必须留意一些非传统的符号。这个导数的一个容易看出的不寻常性质是，有

$$\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}=0$$

对乘积求导，可得到单项式 $F$ 与 $G$ 的莱布尼茨法则的这一形式

$$\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}(FG)=\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}F\right)G+(-1{)}^{|F|}F\left(\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}G\right)$$

其中 $|F|$ 是单项式 $F.$ 的次数

也可以定义一种积分概念（通常称为“Berezin 积分”），它具有通常积分的许多性质。它有一个奇特的特征，即与微分是同一运算，在 $n=1$ 情形下由下式定义

$$\int (c_0+c_1\xi )d\xi =c_1$$

而对于更大的$n$，由

$$\int F\left({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n\right)d{\xi }_{1}d{\xi }_2\dots d{\xi }_n=\frac{\partial }{\partial {\xi }_n}\frac{\partial }{\partial {\xi }_{n-1}}\dots \frac{\partial }{\partial {\xi }_1}F=c_n$$

其中$c_n$是$F$用基元素表示时基元素${\xi }_1{\xi }_2\cdot \cdot \cdot {\xi }_n$的系数。

这种积分概念是作用于函数的线性算符，并且它满足分部积分的类似形式，因为如果

$$F=\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}G$$

那么

$$\int Fd{\xi }_j=\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}F=\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}\frac{\partial }{\partial {\xi }_j}G=0$$

利用重复求导结果为零这一事实。

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来源版本：2025-10-20

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