31.4 复结构、U(d) SO(2 d) 与旋量表示

31.4 复结构、U(d) SO(2 d) 与旋量表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 复化

这里给出的旋量表示的构造使用了 ${\theta }_j,{\overline{\theta }}_j$ 的一个特定选择（见方程 31.2）以及费米子湮灭和产生算符。这对应于复结构 $J_0$ 的一种标准选择，其出现方式与 26.1 节的 Bargmann-Fock 情形密切平行。这里的区别在于，对于旋量的类似构造，必须选择复结构 $J$，使其保持的不是反对称双线性形式 Ω，而是内积，并且有

$$(J(\cdot ),J(\cdot ))=(\cdot ,\cdot )$$

这里我们将限制在$(\cdot ,\cdot )$正定的情形，与玻色子情形不同，此时将不再需要对$J$附加正性条件。

$J$ 将实对偶相空间 $V^{\ast }=\gamma ={\mathbf{R}}^{2d}$ 的复化及其坐标 ${\xi }_j$ 分解为 a 个 $d$ 维复向量空间，其上 $J=+i$，以及一个共轭复向量空间，其上 $J=-i$。与玻色子情形一样，有

$$\mathcal{V}\otimes \mathbf{C}={\mathcal{V}}_J^{+}\oplus {\mathcal{V}}_J^{-}$$

而 ${\mathcal{V}}_J^{+}$ 中向量的量子化给出产生算符的线性组合，而 ${\mathcal{V}}_J^{-}$ 中的向量则取为湮灭算符的线性组合。$J$ 的选择反映在旋量空间 $S={\mathcal{F}}_d^{+}$ 中存在一个特殊方向 $|0{⟩}_F$，该方向由它被所有湮灭算符的线性组合所湮灭这一条件确定（至多相差一个相位）。

$J$ 的选择还挑出一个子群 $U(d)\subset SO(2d)$，由那些与 $J$ 交换的正交变换组成。正如玻色子情形一样，使用了 $U(d)$ 的李代数 $\mathfrak{u}(d)$ 的两个不同表示：

• 上述旋量表示在 $\mathfrak{u}(d)\subset \mathfrak{so}(2d)$ 上的限制。将其指数化后得到的表示不是 $U(d)$ 的表示，而是 $U(d)$ 的一个双重覆盖的表示，该双重覆盖是 $Spin(2d)$ 的子群

• 通过对算符进行正规排序，人们将 $\mathfrak{u}(d)$ 的旋量表示平移一个常数，并得到一个可指数化为 $U(d)$ 的真正表示的表示。该表示是可约的，其不可约分量是对于 $k=0,1,\dots ,d.$ 的 ${\mathring{\Lambda }}^k({\mathbf{C}}^d)$

在两种情形下，$\mathfrak{u}(d)$ 的表示均由湮灭算符与产生算符的二次组合构造而成，这些组合涉及一个湮灭算符和一个产生算符，即湮灭 $|0{⟩}_F$ 的算符。两个产生算符的非零配对非平凡地作用于 $|0{⟩}_F.$，这对应于 $SO(2d)$ 中不属于 $U(d)$ 子群的元素将 $|0{⟩}_F$ 变为旋量表示中的不同状态这一事实。

给定任意群元素

$$g_0=e^A\subset U(d)$$

作用在费米子对偶相空间上并保持 $J$ 与内积，我们可以使用与定理 25.1 和 25.2 中完全相同的方法，通过上述第二个表示来构造其在费米子态空间上的作用。对于 $A$ 一个斜伴随矩阵，我们有一个费米子矩映射

$$A\in \mathfrak{u}(d)\to {\mu }_A=\sum _{j,k}{\theta }_j{A}_{jk}{\overline{\theta }}_k$$

满足

$$\{{\mu }_A,{\mu }_{A^{\prime }}{\}}_{+}={\mu }_{[A,A^{\prime }]}$$

和

$$\{{\mu }_A,\mathbf{\theta }{\}}_{+}=A^T\mathbf{\theta },\{{\mu }_A,\overline{\mathbf{\theta }}{\}}_{+}=\overline{A^T}\overline{\mathbf{\theta }}=-A\overline{\mathbf{\theta }}\text{\hspace{1em}(31.5)}$$

李代数表示算符是

$$U_A^{\prime }=\sum _{j,k}{a}_{Fj}^{†}{A}_{jk}{a}_{Fk}$$

其满足（见定理 27.1）

$$[U_A^{\prime },U_{A^{\prime }}^{\prime }]=U_{[A,A^{\prime }]}$$

和

$$[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F^{†}]=A^T{\mathbf{a}}_F^{†},[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F]=\overline{A^T}{\mathbf{a}}_F$$

将这些 $\mathrm{gi}$ 取指数，便得到交织算符，它们作用在湮灭算符和产生算符上为

$$U_{e^A}{\mathbf{a}}_F^{†}(U_{e^A}{)}^{-1}=e^{A^T}{\mathbf{a}}_F^{†},U_{e^A}{\mathbf{a}}_F(U_{e^A}{)}^{-1}=e^{\overline{A^T}}{\mathbf{a}}_F$$

对于最简单的例子，考虑通过以下方式作用的 $U(1)\subset U(d)\subset SO(2d)$

$${\theta }_j\to e^{i\varphi }{\theta }_j,{\overline{\theta }}_j\to e^{-i\varphi }{\overline{\theta }}_j$$

对应于$A=i\varphi 1$。矩映射将为

$${\mu }_A=-\varphi h$$

其中

$$h=-i\sum _{j=1}^d{\theta }_j{\overline{\theta }}_j$$

是经典费米子振子的哈密顿算子。对$h$进行量子化（见方程31.4）将得到（−$i$）倍的哈密顿算符

$$-iH=-\frac{i}{2}\sum _{j=1}^d(a_{Fj}^{†}{a}_{Fj}-a_{Fj}{a}_{Fj}^{†})=-i\sum _{j=1}^d\left(a_{Fj}^{†}{a}_{Fj}-\frac{1}{2}\right)$$

以及 $\mathfrak{u}(1)$ 的一个具有半整数特征值 $(\pm i\frac{1}{2})$ 的李代数表示。取指数将给出 $U(1)\subset U(d)$ 的一个双重覆盖的表示

改用正规序对$h$进行量子化，得到

$$:-iH:=-i\sum _{j=1}^d{a}_{Fj}^{†}{a}_{Fj}$$

以及$U(1)\subset U(d)$的一个真实表示，其中

$$U_A^{\prime }=i\varphi \sum _{j=1}^d{a}_{Fj}^{†}{a}_{Fj}$$

满足

$$[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F^{†}]=i\varphi {\mathbf{a}}_F^{†},[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F]=-i\varphi {\mathbf{a}}_F$$

取指数后，对湮灭算符和产生算符的作用为

$$e^{-i\varphi {\sum }_{j=1}^d{a}_F{†}_j{a}_{F}j}{\mathbf{a}}_F^{†}{e}^{i\varphi {\sum }_{j=1}^d{a}_F{†}_j{a}_{F}j}=e^{i\varphi }{\mathbf{a}}_F^{†}$$ $$e^{-i\varphi {\sum }_{j=1}^d{a}_F{†}_j{a}_{F}j}{\mathbf{a}}_F{e}^{i\varphi {\sum }_{j=1}^d{a}_F{†}_j{a}_{F}j}=e^{-i\varphi }{\mathbf{a}}_F$$

上一节：31.3 旋量与Bargmann-Fock构造 · 下一节：31.5 一个例子：SO(4) 的旋量 · English version

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来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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