31.5 一个例子：SO(4) 的旋量

31.5 一个例子：SO(4) 的旋量

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 李括号 · 复化

我们在第6章看到，旋量群$Spin(4)$同构于$Sp(1)\times$ $Sp(1)=SU(2)\times SU(2)$。它在${\mathbf{R}}^4$上的作用随后通过将${\mathbf{R}}^4=\mathbf{H}$等同起来，并通过单位四元数在左和右作用而给出（因此是$Sp(1))$的两个副本）。虽然这构造了$Spin(4)$在${\mathbf{R}}^4$上的表示，但它并未提供$Spin(4)$的旋量表示。

定义

自旋表示的一种常规方式是选取克利福德代数的一个显式矩阵表示（在此情形下，例如 $\mathrm{Cliff}(4,0,\mathbf{R}))$

$${\gamma }_0=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\gamma }_1=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_1\\ -{\sigma }_1& 0\end{array}\right),{\gamma }_2=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_2\\ -{\sigma }_2& 0\end{array}\right),{\gamma }_3=-i\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_3\\ -{\sigma }_3& 0\end{array}\right)$$

其中我们把矩阵写成 2 乘 $2$ 的分块形式，并将四个维度从 0 到 $3.$ 编号。容易验证，它们满足 Cliford 代数关系：它们彼此反交换，并且

$${\gamma }_0^2={\gamma }_1^2={\gamma }_2^2={\gamma }_3^2=1$$

二次Clifford代数元素$-\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$对于$j<k$满足$\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{spin}(4)$的对易关系。这些关系明确为

$$\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_1=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& -{\sigma }_1\end{array}\right),& -\frac{1}{2}{\gamma }_2{\gamma }_3=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_1\end{array}\right)\\ -\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_2=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& -{\sigma }_2\end{array}\right),& -\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_3=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2& 0\\ 0& {\sigma }_2\end{array}\right)\\ -\frac{1}{2}{\gamma }_0{\gamma }_3=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_3& 0\\ 0& -{\sigma }_3\end{array}\right),& -\frac{1}{2}{\gamma }_1{\gamma }_2=-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_3& 0\\ 0& {\sigma }_3\end{array}\right)\end{array}$$

李代数自旋表示就是 $S={\mathbf{C}}^4$ 上的矩阵乘法，并且它显然是 ${\mathbf{C}}^2$ 的两个副本（上下两个分量）上的可约表示。还可以看出，李代数自旋 $(4)=$ su $\mathfrak{i}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)$，其中两个 su(2) 李代数具有基

$$-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_1+{\gamma }_2{\gamma }_3),-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_2+{\gamma }_1{\gamma }_3),-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_3+{\gamma }_1{\gamma }_2)$$

和

$$-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_1-{\gamma }_2{\gamma }_3),-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_2-{\gamma }_1{\gamma }_3),-\frac{1}{4}({\gamma }_0{\gamma }_3-{\gamma }_1{\gamma }_2)$$

$Spin(4)$ 的不可约自旋表示恰好是两个 $SU(2)$ 副本的自旋 $\frac{1}{2}$ 表示的张量积（其中每个副本作用在张量积的不同因子上）。

在费米子振子构造中，我们有

$$S=S^{+}+S^{-},S^{+}=\mathrm{span}\{1,{\theta }_1{\theta }_2\},S^{-}=\mathrm{span}\{{\theta }_1,{\theta }_2\}$$

而克利福德代数在 $S$ 上的作用对于生成元由下式给出（现在将维数从 1 到 4 编号）

$${\gamma }_1=\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}+{\theta }_1,{\gamma }_2=i\left(\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}-{\theta }_1\right)$$ $${\gamma }_3=\frac{\partial }{\partial {\theta }_2}+{\theta }_2,{\gamma }_4=i\left(\frac{\partial }{\partial {\theta }_2}-{\theta }_2\right)$$

注意，在此构造中存在一个复结构的选择 $J=J_0$，这给出一个 distinguished 向量 $|0⟩=1\in S^{+}$，以及一个 distinguished 子李代数 $\mathfrak{u}(2)\subset \mathfrak{so}(4)$，其由在 |0⟩ 上平凡作用的变换组成，这些变换由 2 2 的线性组合给出

$${\theta }_1\frac{\partial }{\partial {\theta }_1},{\theta }_2\frac{\partial }{\partial {\theta }_2},{\theta }_1\frac{\partial }{\partial {\theta }_2},{\theta }_2\frac{\partial }{\partial {\theta }_1},$$

还存在一个特殊的子李代数 $\mathfrak{u}(1)\subset \mathfrak{u}(2)$，它与其余部分具有零李括号，其基元素为

$${\theta }_1\frac{\partial }{\partial {\theta }_1}+{\theta }_2\frac{\partial }{\partial {\theta }_2}$$

Spin(4) 中那些在旋量状态空间上通过酉的（对于厄米内积 31.3）变换作用，但改变 |0⟩ 并对应于复结构变化的元素，由李代数表示算符的指数化给出

$$i(a_{F_1}^{†}{a}_{F_2}^{†}+a_{F_2}{a}_{F_1}),a_{F_1}^{†}{a}_{F_2}^{†}-a_{F_2}{a}_{F_1}$$

复结构的可能选择由$SO(4)/U(2)$参数化，而该对象可与复射影球面${\mathbf{CP}}^{\tilde{1}}=S^2$等同。

用矩阵进行的构造非常适合计算，但它本质上依赖于坐标的选择。Bargmann-Fock 的费米子版本在这里是以基的选择给出的，但与密切类似的玻色子构造一样，它实际上只依赖于内积的选择以及一个相容复结构 $J,$ 的选择，从而在坐标无关的对象 ${\mathcal{F}}_d^{+}={\Lambda }^{\ast }{V}_J^{+}$ 上产生一个表示。

在第41章中，我们将针对$Spin(3,1)$的情形考虑Cliford代数的显式矩阵表示。也可以使用费米子振子构造，通过复化来得到……的表示

$$\mathfrak{so}(4)\otimes \mathbf{C}=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbf{C})$$

然后限制到该子代数

$$\mathfrak{so}(3,1)\subset \mathfrak{so}(3,1)\otimes \mathbf{C}=\mathfrak{so}(4)\otimes \mathbf{C}$$

这将给出用克利福德代数生成元的二次组合表示的 $Spin(3,1)$ 的一个表示，但与 $Spin(4)$ 的情形不同，它将不是酉的。内积缺乏正定性会导致与 CAR 相关的同类错误符号问题，正如在玻色子情形中，当 $J$ 和 Ω 给出一个非正定的对称双线性形式时，CCR 所遇到的问题一样。在费米子情形中，错误符号问题并不妨碍构造一个表示，但它将不是一个酉表示。

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来源版本：2025-10-20

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