38.1 在 H₁ 上的酉变换

38.1 在 H₁ 上的酉变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 复内积 · 酉群 · 酉表示

非相对论量子场论的单粒子态空间${\mathcal{H}}_1$可以由波函数$\psi (x)$或其傅里叶变换$\psi (p)$ 2参数化，并带有厄米内积

$$⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩=\int \overline{{\psi }_1(x)}{\psi }_2(x)dx=\int \overline{{\tilde{\psi }}_1(p)}{\tilde{\psi }}_2(p)dp$$

作为一个对偶相空间，其辛结构由该量的虚部给出

$$\Omega ({\psi }_1,{\psi }_2)=\frac{1}{2i}\int (\overline{{\psi }_1(x)}{\psi }_2(x)-\overline{{\psi }_2(x)}{\psi }_1(x))dx$$

存在一个无限维辛群，它通过保持Ω的线性变换作用在${\mathcal{H}}_1$上。它有一个无限维酉子群，即那些保持完整内积的变换。在本章中，我们将考虑作为这个酉群的子群的各种有限维群$G$，并考察它们如何在量子场论态空间上被表示。注意，也存在一些群，它们作为${\mathcal{H}}_1$的辛变换而非酉变换作用，在量子化之后通过多粒子态空间上的酉表示作用。这样的作用会改变粒子数，特别是真空态|0⟩将不是不变的。关于这种更一般情形下所发生情况的某些提示，见25.5节和39.4节。

${\mathcal{H}}_1$ 的酉变换情形的有限维版本已在 25.2 和 25.3 两节中详细讨论，在那里我们看到 $U(d)$ 作用量的矩映射由下式给出

$${\mu }_A=i\sum _{j,k}{z}_j{A}_{jk}{\overline{z}}_k$$

对于 $A$ 一个反伴随矩阵。量子化将相空间上的这个二次函数变为湮灭算符与产生算符的二次组合

$$\sum _{j,k}{a}_j^{†}{A}_{jk}{a}_k$$

而这些算符的指数化则给出了状态空间上的酉表示。

在具有对偶相空间 ${\mathcal{H}}_1$ 的量子场论情形中，有限维情形的推广将是

$$\mathrm{index}j\to x\mathrm{or}p$$ $$z_j\to \Psi (x)\text{ or }\alpha (p),{\overline{z}}_j\to \overline{\Psi }(x)\text{ or }\overline{\alpha }(p)$$ $$a_j^{†}\to {\hat{\Psi }}^{†}(x)\text{or}{a}^{†}(p),a_j\to \hat{\Psi }(x)\text{or}a(p)$$

我们将考虑的二次函数将是 ${\mathrm{\Delta }}^6\mathrm{loca}{\mathrm{l}}^9$，乘以由位置空间中相同点参数化的元素。通常这些将是微分算符。因此，从有限维情形的推广将采取

$$\sum _{j,k}\to \int dx\mathrm{or}\int dp$$

和

$$A_{jk}\to \mathcal{O}(x)\text{ or }\mathcal{O}(p)$$

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash