38 对称性与非相对论量子场

在我们关于利用相空间上的复结构进行量子化的研究（第25章和第26章）中，我们发现，利用泊松括号，（复化）相空间坐标的二次多项式给出了一个辛李代数 sp(2d, $C$)，并带有一个由复结构决定的特殊子李代数 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$（见第 25.2 节）。在第 25.3 节中我们看到，这些二次多项式可以量子化为湮灭算符与产生算符的二次组合，从而在谐振子态空间上给出一个表示，该表示在酉子李代数 $\mathfrak{u}(d)\subset \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 上是酉的。

第36章和第37章中的非相对论量子场论是这一结构的无限维版本，其中对偶相空间现在是Schr¨odinger方程解的空间${\mathcal{H}}_1$。当一个群$G$作用在${\mathcal{H}}_1$上并保持厄米内积（从而保持辛结构和复结构）时，推广25.2节和25.3节的公式，应当给出这样的群$G$在多粒子态空间$S^{\ast }({\mathcal{H}}_1)$上的一个酉表示。

在 36.5 节和 37.2 节中，我们看到了这对于 $G=\mathbf{R}$ 即时间平移群是如何运作的，该群决定了理论的动力学。对于自由粒子的情形，场论哈密顿量是场的二次多项式，这提供了一个基本例子，说明此类多项式如何通过量子场算符的二次组合，在量子理论的状态上给出酉表示。在本章中，我们将看到一些其他例子，说明单粒子空间 ${\mathcal{H}}_1$ 上的群作用如何导致全量子场论上的二次算符和酉变换。这些群作用对应的矩映射给出 ${\mathcal{H}}_1$ 上的二次多项式，这些多项式在量子化后成为李代数表示的二次算符。

English contents

本章目录

• 38.1 在 H₁ 上的酉变换
• 38.2 内部对称性
  • 38.2.1 U(1) 对称性
  • 38.2.2 $U(n)$ 对称性
• 38.3 空间对称性
  • 38.3.1 空间平移
  • 38.3.2 空间旋转
  • 38.3.3 自旋 $\frac{1}{2}$ 域
• 38.4 费米子域
• 38.5 进一步阅读

上一章：37 多粒子系统与场量子化

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 404、405、406、407、408、409、410、411、412、413、414、415、416

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：944936b50f1debc035a04675c184a65cd33cba3ab5d01ffb5e963bdd51051a07

译稿产物 SHA-256：c6bc66c29b87da04c05b089285a971fd314fafe11158fca96c79742ec163c997

机翻模型：deepseek-v4.1-flash