39 无限维相空间的量子化
有限维李群及其表示是相当为人熟知的数学对象，但对于无限维李群，情况却完全不是这样，人们对此只有零碎的理解。在前几章中，我们详细研究了量子化有限维相空间时会发生什么，无论是玻色子还是费米子情形。在这些情形中，一个有限维辛群或正交群作用，量子化使用这些群的表示。对于具有无限维相空间的量子场论情形，作用在这些空间上的辛群或正交群将是无限维的。在本章中，我们将考虑当人们寻求这些群及其表示在有限维情形下于量子理论中所起作用的无限维类似物时，所出现的一些新现象。
在无限维情形中，最重要的区别是斯通-冯·诺依曼定理及其在克利福德代数中的类似定理不再成立。人们不再具有正则对易（或反对易）关系的唯一（在酉等价意义下）表示。结果表明，只有对于一类受限的无限维辛群或正交群，才能恢复有限维情形中的斯通-冯·诺依曼唯一性，而且即便如此，也会出现新的现象。矩映射定义中出现的任意常数现在不能被忽略，而可能出现在对易关系中，从而导致所谓“反常”。
在物理上，由无穷多个自由度引起的新现象可能源于任意短距离处出现的自由度（“紫外发散”），但也可能源于对应大距离的自由度。在将量子场论应用于凝聚态系统的研究时，相关的是其中第二种情形，因为原子尺度提供了一个截断距离尺度，在该尺度以下不存在自由度。
对于一般的相互作用量子场论，人们必须在正则对易关系的表示的各种不等价可能性中做出选择，找到一个使相互作用场论的算符在其中良定义的表示。这使得相互作用量子场论成为比自由场论复杂得多的课题，并且是标准计算方法应用时出现的众所周知的无穷大困难的根源。相互作用量子场论的恰当定义通常需要引入截断，使自由度的数目成为有限，从而使有限维情形中使用的标准性质仍然成立，然后研究当截断被移除时会发生什么，试图找到一个物理上合理的极限（“重整化”）。
读者需注意，本章内容较之前各章更为简略，仅旨在概述关于表示论与量子化的某些基础思想在有限维情形下如何应用于量子场论的一些轮廓。这些材料在后续章节中不会扮演重要角色。
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来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
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