39.2 限制辛群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 正交群 · 希尔伯特空间

若将复结构类 $J$ 限制为与标准复结构 $J_{0},$ 差别不大的那些，则可得到 Stone-von Neumann 定理的一个版本，并且其行为与有限维情形大致相同。注意，对相空间上的每个可逆线性映射 $g$ ， $g$ 作用于复结构（见方程 26.6），将 $J_{0}$ 变为一个我们将称为 $J_{g}$ 的复结构。可以如下定义无限维辛群或正交群的子群：

定义（限制辛群与正交群）

无限维辛向量空间上保持辛结构并同时满足该条件的线性变换 $g$ 构成的群
$t r (A^{†} A) < \infty$

关于该算符

A = [J_{g}, J_{0}]

称为限制辛群，记作 $S p_{r es}$ 。无限维内积空间上保持内积并满足与上述关于 $[J_{g}, J_{0}]$ 相同条件的线性变换 $g$ 构成的群称为限制正交群，记作 $S O_{r es}$ 。

称满足 $t r (A^{†} A) < \infty$ 的算符 $A$ 为希尔伯特-施密特算符。于是，对于斯通-冯·诺依曼定理，有如下替代：

定理

给定希尔伯特空间上的两个复结构 $J_{1}, J_{2}$ ，使得 $[J_{1}, J_{2}]$ 为希尔伯特-施密特算子，作用于态上
$∣ 0 ⟩_{J_{1}}, ∣ 0 ⟩_{J_{2}}$

由湮灭算符和产生算符给出的将是外尔代数（在玻色子情形下）或克利福德代数（在费米子情形下）的幺正等价表示。

关于这一命题的证明，标准参考文献是Shale [79]和Shale-Stinespring [80]的原始论文。关于该定理的详细讨论可见于[64]。

为了给这个定理提供一些动机，考虑在 25.5 节中研究的有限维情形（这是针对辛群情形，正交群情形有类似的计算）。对应于 Bogoliubov 变换的 $sp (2 d, R)$ 的元素（即与 $J_{0})$ 的对易子非零）具有形式

\frac{1}{2} j k \sum (B_{j k} z_{j} z_{k} + \overline{B}_{j k} \overline{z}_{j} \overline{z}_{k})

对于对称复矩阵 $B .$ 。这些通过以下方式作用于亚辛表示：

- \frac{i}{2} j k \sum (B_{j k} a_{j}^{†} a_{k}^{†} + \overline{B}_{j k} a_{j} a_{k}) (39.1)

并且其中两个的对易给出一个结果（方程25.9），对应于 $u (d)$ 子群中某个元素的量子化，与它的正规序版本相差一项

- \frac{1}{2} t r (B \overline{C} - C \overline{B}) 1 = - \frac{1}{2} t r (B C^{†} - C B^{†}) 1

对于 $d = \infty$ ，该迹一般为无限且未定义。希尔伯特-施密特算符的另一种刻画是，对于 $B$ 和 $C$ 希尔伯特-施密特算符，迹

t r (B C^{†}) and t r (C B^{†})

将是有限且良定义的。因此，至少在湮灭算符和产生算符的二次正规序算符良定义的范围内，对不与复结构对易的算符施加的希尔伯特-施密特条件意味着它们彼此之间将具有良定义的对易关系。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 417、418、419、420、421、422、423、424

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7b0cff22b2ddfeedc38c46d2647fc64b1a1312f6e8c747e5fa894ab65083ccee

译稿产物 SHA-256：dac13baf7633fdb3b603845be294cbc9b514c2409bfa0426829b38ca9fa1c6b1

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