39.1 不等价不可约表示

39.1 不等价不可约表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 不可约表示 · 群在集合上的作用

在我们关于量子化的讨论中，这个故事的一个重要部分是 Stonevon Neumann 定理，它指出 Heisenberg 群在同构意义下只有一个有趣且酉等价的不可约表示（即 Schr¨odinger 表示）。在无穷维情形下，这不再成立：将存在无穷多个不等价的不可约表示，且目前尚无对可能情形的完整分类。在人们甚至能够开始计算诸如可观测量的期望值之类的东西之前，就需要找到一种合适的表示选择，这给问题增加了一层新的困难，而这种困难超出了仅仅增加自由度数目所带来的困难。

为了了解Stone-von Neumann定理可能如何失效，可以考虑谐振子自由度的Bargmann-Fock量子化以及相干态（见23.2节）

$$|\alpha ⟩=D(\alpha )|0⟩=e^{\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a}|0⟩$$

其中 $D(\alpha )$ 是酉算符。这些满足

$$|⟨\alpha |0⟩{|}^2=e^{-|\alpha {|}^2}$$

$\alpha$ 的每一种选择都通过 $D(\alpha )$ 给出海森堡群的一个不同但酉等价的表示。这是在由……张成的空间上

$$D(\alpha )(a^{†}{)}^n|0⟩=(a(\alpha {)}^{†}{)}^n|\alpha ⟩$$

其中

$$a(\alpha {)}^{†}=D(\alpha )a^{†}{D}^{-1}(\alpha )$$

对于 $d=1$，对任意 $d$，得到由向量 $\alpha \in {\mathbf{C}}^d$ 参数化的态，并且

$$|⟨\alpha |0⟩{|}^2=e^{-{\sum }_{j=1}^d|{\alpha }_j{|}^2}$$

在无限维情形下，对于任何 ${\alpha }_j$ 的序列，若 ${\sum }_{j=1}^{\infty }|{\alpha }_j{|}^2$ 发散，则必有

$$⟨\alpha |0⟩=0$$

对于每个这样的序列 $\alpha .$，这导致海森堡群的一个不同表示，该表示由作用各种乘积所张成

$$a_j(\alpha {)}^{†}=D(\alpha )a_j^{†}{D}^{-1}(\alpha )$$

作用于 $|\alpha ⟩$

这些表示全都幺正不等价。为表明建立在$|\alpha ⟩$之上的表示与建立在|0⟩之上的表示不等价，只需证明$|\alpha ⟩$不仅与$|0⟩$正交，而且也与所有其他的$(a_j^{†}{)}^n|0⟩$正交。这一点成立，因为人们有（见方程23.8）

$$a_j(\alpha )=D(\alpha )a_j{D}^{-1}(\alpha )=a_j-{\alpha }_j$$

因此

$$\begin{array}{rl}⟨0|a_j^n|\mathbf{\alpha }⟩& =⟨0|a_j^{n-1}(a_j(\alpha )+{\alpha }_j)|\mathbf{\alpha }⟩\\ & ={\alpha }_j⟨0|a_j^{n-1}|\mathbf{\alpha }⟩=\dots \\ & ={\alpha }_j^n⟨0|\mathbf{\alpha }⟩=0\end{array}$$

这类现象的例子可以出现在量子场论中，即在许多场的量子“凝聚”到最低能量态在能量上有利的情形下。这可以是一个像 $|\alpha ⟩$ 这样的态，其中

$$\sum _{j=1}^d⟨\alpha |a_j^{†}{a}_j|\alpha ⟩$$

在凝聚态|$\alpha$⟩中，具有非零粒子密度的物理解释。

这一现象的其他例子可以通过考虑用于定义表示的Bargmann-Fock构造的复结构$J$的变化来构造。对于有限$d,$，使用$|0{⟩}_J$针对不同复结构定义的表示都是酉等价的，但当$d$趋于无穷时，在极限情况下这可能不成立。

在 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 作用的标准振子情形与 $SO(2d,\mathbf{R})$ 作用的费米振子情形中，我们都发现存在“Bogoliubov 变换”：群中不属于 $U(d)$ 子群的元素，由 ${}^{J,}$ 的选择所区分，这些元素非平凡地作用于 $|0{⟩}_J,$，将其变为不同的态。$\mathrm{As}$ 在上述 Heisenberg 群作用于相干态的情形中，这种由 Bogoliubov 变换给出的作用在 $d\to \infty$ 的极限下可以把 |0⟩ 变为正交态。这引入了对易关系的非等价表示的可能性，这些表示通过将算符作用于正交基态而构造。物理解释同样是，这样的态对应于量子的凝聚体。对于通常的玻色振子情形，这一现象出现在超流理论中；对于费米振子，它出现在超导理论中。正是在对此类系统的研究中，Bogoliubov 发现了如今以他名字命名的变换。

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