23.2 相干态与Bargmann-Fock态空间

23.2 相干态与Bargmann-Fock态空间

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 谱定理

相干态所提供的一件事是 $\mathcal{H}.$ 中另一组完备的范数为 1 的向量，因此任何态都可以用它们表示。然而，这些态并不正交（它们是一个非自伴算符的特征向量，因此自伴算符的谱定理不适用）。两个相干态的内积是

$$\begin{array}{rl}⟨\beta |\alpha ⟩& =⟨0|e^{-\frac{1}{2}|\beta {|}^2}{e}^{\overline{\beta }a}{e}^{-\frac{1}{2}|\alpha {|}^2}{e}^{\alpha a^{†}}|0⟩\\ & =e^{-\frac{1}{2}(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2)}{e}^{\overline{\beta }\alpha }⟨0|e^{\alpha a^{†}}{e}^{\overline{\beta }a}|0⟩\\ & =e^{\overline{\beta }\alpha -\frac{1}{2}(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2)}\end{array}\text{\hspace{1em}(23.3)}$$

和

$$|⟨\beta |\alpha ⟩{|}^2=e^{-|\alpha -\beta {|}^2}$$

用于将态表示为具有连续基 |$q$⟩ 或 $|p⟩$ 的位置空间或动量空间分布的狄拉克形式体系，也可以适用于巴格曼-福克情形。在位置空间情形中，当态为 $q,$ 的函数时，狄拉克函数分布 $\delta (q-q^{\prime })$ 为 $Q$ 算符提供一个特征向量 $|q^{\prime }⟩$，其特征值为 $q^{\prime }$。如第12章所讨论的，态 |$\psi$⟩ 的位置空间波函数可以被认为由下式给出

$$\psi (q)=⟨q|\psi ⟩$$

与

$$⟨q|q^{\prime }⟩=\delta (q-q^{\prime })$$

在Bargmann-Fock情形中，存在分布态$|q⟩$的类似物，其通过取${}^{a,}$的特征向量态给出，但与$|\alpha ⟩$不同，这些态不可归一化。我们定义

$$|{\delta }_w⟩=e^{\overline{w}{a}^{†}}|0⟩=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\overline{w}}^n}{\sqrt{n!}}|n⟩=e^{\overline{w}z}=e^{\frac{|w{|}^2}{2}}|\overline{w}⟩$$

代替方程 23.3，这样的态满足

$$⟨{\delta }_{w_1}|{\delta }_{w_2}⟩=e^{{\overline{w}}_2{w}_1}$$

$|{\delta }_w$ 的行为方式类似于 delta 函数，因为使用函数空间内积计算 $⟨q|\psi ⟩$ 的 Bargmann-Fock 类似物是，写作

$$\psi (w)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{w^n}{\sqrt{n!}}$$

计算

$$\begin{array}{rl}⟨{\delta }_z|\psi ⟩& =\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}{e}^{z\overline{w}}{e}^{-|w{|}^2}\psi (w)d^{2}w\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}{e}^{z\overline{w}}{e}^{-|w{|}^2}\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{w^n}{\sqrt{n!}}{d}^{2}w\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}\sum _{m=0}^{\infty }\frac{z^m}{\sqrt{m!}}\frac{{\overline{w}}^m}{\sqrt{m!}}{e}^{-|w{|}^2}\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{w^n}{\sqrt{n!}}{d}^{2}w\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{z^n}{\sqrt{n!}}=\psi (z)\end{array}$$

这里我们使用了正交关系

$${\int }_{\mathbf{C}}{\overline{w}}^m{w}^n{e}^{-|w{|}^2}{d}^{2}w=\pi n!{\delta }_{n,m}\text{\hspace{1em}(23.4)}$$

容易看出，相干态的Bargmann-Fock波函数由下式给出

$$⟨{\delta }_z|\alpha ⟩=e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{\alpha z}\text{\hspace{1em}(23.5)}$$

而对于数算符特征向量态

$$⟨{\delta }_z|n⟩=\frac{z^n}{\sqrt{n!}}$$

在第 23.5 节中，我们将计算位置本征态的 Bargmann-Fock 波函数 $⟨{\delta }_z|q⟩$，见方程 23.13。

如同 $\alpha$⟩ 一样（而与 $|q⟩$ 或 $|p⟩)$ 不同），这些态 $|{\delta }_w⟩$ 对于 ${}^{a,}$ 的不同特征值并不正交，但它们张成态空间，提供一个超完备基，并满足恒等关系的分解。

$$1=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}|{\delta }_w⟩⟨{\delta }_w|e^{-|w{|}^2}{d}^{2}w\text{\hspace{1em}(23.6)}$$

这可以使用

$$|{\delta }_w⟩⟨{\delta }_w|=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\overline{w}}^n}{\sqrt{n!}}|n⟩\right)\left(\sum _{m=0}^{\infty }\frac{w^m}{\sqrt{m!}}⟨m|\right)$$

以及

$$1=\sum _{n=0}^{\infty }|n⟩⟨n|$$

以及正交关系23.4。注意，归一化相干态同样提供了一个超完备基，其中

$$1=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}|\alpha ⟩⟨\alpha |d^2\alpha \text{\hspace{1em}(23.7)}$$

为避免对复变量 $z$ 与 $w$ 在此处出现的各种方式产生混淆，请注意，这不过是位置空间表示中所发生情况的类似物：在那里，$q$ 可以分别是经典相空间上的坐标、波函数的一个自变量、位置算符本征态的一个标记，以及一个乘法算符。此处位置算符 $Q$ 的类似物是 $a^{†}$，它表示乘以 $z$（与 $\mathrm{Q},$ 不同，不是自伴的）。共轭复坐标 $\overline{z}$ 类似于动量坐标，被量子化为一个微分算符。这一形式体系的一个令人困惑之处在于，复共轭将 $\mathcal{H}$ 的元素（全纯函数）变为反全纯函数，而后者属于不同的空间。$\overline{z}$ 的量子化不是 $z,$ 的复共轭，而是其伴随算符。

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来源版本：2025-10-20

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