23.3 海森堡群在算符上的作用

23.3 海森堡群在算符上的作用

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 伴随表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

表示算符

$$\Gamma (\alpha ,\gamma )=D(\alpha )e^{-i\gamma }$$

不仅作用于态，还通过共轭作用作用于算符

$$D(\alpha )aD(\alpha {)}^{-1}=a-\alpha ,D(\alpha )a^{†}D(\alpha {)}^{-1}=a^{†}-\overline{\alpha }$$

（在算符上，相位因子相消）。这些关系源于以下事实：对易关系

$$[\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a,a]=-\alpha ,[\alpha a^{†}-\overline{\alpha }a,a^{†}]=-\overline{\alpha }$$

是关于$t$的导数

$$D(t\alpha )aD(t\alpha {)}^{-1}=a-t\alpha ,D(t\alpha )a^{†}D(t\alpha {)}^{-1}=a^{†}-t\overline{\alpha }\text{\hspace{1em}(23.8)}$$

在 $t=0$ 处，这正是方程 5.1，但由于多重对易子为零，它对所有 $t$ 都成立。

因此我们看到，Heisenberg 群通过将湮灭算符和产生算符平移一个常数来作用于它们。Heisenberg 群通过伴随表示以自同构作用于其李代数（见 15.5 节），并且可以验证 $\Gamma (\alpha ,\gamma )$ 是该作用的交织算符（见第 20 章）。本章的构造可以容易地从 $d=1$ 推广到维数 $d.$ 的一般值。对于 $d$ 的有限值，$\Gamma (\alpha ,\gamma )$ 作为不可约表示作用于态上，正如 Stonevon Neumann 定理所要求的那样。我们将在第 39 章看到，在无穷维中这不再必然成立。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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