42 庞加莱e群及其表示

在第 19 章中我们看到，欧氏群 $E(3)$ 在量子自由粒子的态空间上具有无限维不可约酉表示。自由粒子哈密顿算子扮演卡西米尔算符的角色：要得到不可约表示，就固定哈密顿算子的特征值（能量），然后表示就作用在具有该能量的薛定谔方程的解空间上。还存在第二个卡西米尔算符，其整数值特征值为螺旋度，它进一步刻画不可约表示。螺旋度 $\pm \frac{1}{2}$ 的情形（使用双重覆盖 $\widetilde{E(3)})$）出现在泡利方程的解中，见第 34.2 节。

对于相对论性的类比，将空间与时间同等对待，我们将改用时空平移与洛伦兹变换的半直积，称为庞加莱e群。该群的不可约表示仍将由两个卡西米尔算符的特征值来标记，在物理学相关的情形中给出一个连续参数（质量）和一个离散参数（自旋或螺旋度）。这些表示可以实现为相对论性波动方程的解空间，而这样的表示对应于可能的相对论性基本粒子。

对于元素 $(a,\Lambda )$ 庞加莱的 e 群， 与 a 一个时空平移和 $\Lambda$ 洛伦兹群的一个元素， 群和李代数有三种不同的作用量需要区分：

• 作用量

$$x\to \Lambda x+a$$

在闵可夫斯基空间向量 $x$ 上。这是作用在实向量空间上的一个作用量，它不是酉表示。

• 作用量

$$\psi \to u(a,\Lambda )\psi (x)=S(\Lambda )\psi ({\Lambda }^{-1}(x-a))$$

关于 $n$ 分量波函数，即波动方程的解（此处 $S$ 是洛伦兹群的 $n$ 维表示）。这些将是本章所分类的酉表示。

• 单粒子波函数空间可用于构造量子场论，描述任意数量的粒子。这将伴随着状态空间上由酉算符 $U(a,\Lambda )$ 给出的作用量。这将是一个酉表示，但远非不可约的。

对于相应的李代数作用，我们将使用小写字母 $(e.g.$ 2 $t_j,l_j)$ 表示李代数元素及其在闵可夫斯基空间上的作用，使用大写字母 $(e.g.,P_j,L_j)$ 表示波函数上的李代数表示，并使用带上标的大写字母 $(e.g.,{\hat{P}}_j,{\hat{L}}_j)$ 表示量子场论态上的李代数表示。

English contents

本章目录

• 42.1 庞加莱e群及其李代数
• 42.2 庞加莱e群的不可约表示
• 42.3 按轨道对表示进行分类
  • 42.3.1 正能量类时轨道
  • 42.3.2 负能量类时轨道
  • 42.3.3 类空轨道
  • 42.3.4 零轨道
  • 42.3.5 正能量零轨道
  • 42.3.6 负能量零轨道
• 42.4 进一步阅读

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来源版本：2025-10-20

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