49.2 其他重要的数学物理主题
概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李群 · 群在集合上的作用 · 圆群 U(1) · 复化
有相当多重要的数学主题超出了此处讨论的范围，但它们与基础物理理论有着重要的联系。这些包括：
• 更高秩单李群。 像SU(3)这样的群的表示论在物理学中有许多应用， 并且也是研究生阶段数学课程中的一个标准主题， 半单李群与李代数的有限维表示一般理论的一部分。 该理论使用各种技巧将问题化归为SU(2)和 (1) 我们已经研究过的。 历史上， 对近似 强相互作用的对称性（因为上夸克的质量相对较轻， （下夸克和奇异夸克）导致了物理学界首次广泛使用更复杂的表示论技术。
• 欧几里得方法。量子场论，尤其是在路径积分表述中，在欧几里得符号而非闵可夫斯基时空符号下具有最佳的解析性质。随后可以使用解析延拓方法，从理论的欧几里得空间表述中提取闵可夫斯基空间行为。这类解析延拓方法，利用洛伦兹群的复化，可用于理解相对论量子场论的一些非常一般的性质，包括自旋-统计定理和 CPT 定理。
• 共形几何与共形群。对于无质量粒子理论，研究通过共形变换作用于闵可夫斯基空间的群 是有用的，其中庞加莱 e 群作为子群。其复化是群 。 （共形紧化）闵可夫斯基空间的复化结果是一个众所周知的数学对象，即 的复二维子空间的格拉斯曼流形。旋量理论利用了 的这种几何，旋量场以“重言式”方式出现：时空的一个点是 a ，而旋量场取值于该
• 无限维群。我们已经看到，无限维规范群在物理学中起着重要作用，但不幸的是，这类群的表示论却鲜为人知。如果取空间为一维，则已知的结果要多得多。对于周期边界条件，这类一维规范群是圈群，即从圆到有限维李群 的映射所构成的群。这类群的李代数称为仿射李代数，其表示论可以通过相对传统的数学方法与量子场论方法的结合来研究，其中反常现象起着关键作用。圆的无限维微分同胚群及其李代数（Virasoro 代数）也在这一背景下发挥作用。从二维时空的观点来看，许多这类理论具有对应于时空共形变换的无限维群作用。这类共形场论的研究是数学物理中的一个重要课题，而表示论方法是该学科的核心部分。
来源与版本
正文：中文 · 机器译稿 · 待校对
核对状态：机器译稿 · 待校对
原书 PDF · 印刷页 530、531、532
来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
OCR 来源 SHA-256：51bbfff54ace3ba6a45d54959a5ac3134b5c39546cc607baebb65f5925f254df
译稿产物 SHA-256：21b8705be66b9705bede63ff657043934bccc593899e63bdfe51b99cd6bba52c
机翻模型：deepseek-v4.1-flash