闭子群 (closed subgroup)

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已登记出处中的最早位置：§10.8 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§10.8	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§19.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§19.3	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§10.8 · zh-CN · translation · unreviewed

群 $H$ 的子群 $G$ 连同其相对拓扑称为 $G$ 的 拓扑子群(topological subgroup)。为证明任意子群 $H$ 关于相对拓扑成为拓扑子群，设 $U^{\prime }=H\cap U$，其中 $U$ 是 $G.$ 的任意开子集。由映射 $\varphi$ 的连续性，对任意一对满足 $gh\in U^{\prime }\subset U$ 的点 $g,h\in H$，存在 $G$ 的开集 $A$ 和 $B$，使得 $A\times B\subset {\varphi }^{-1}(U)$。由此推出 $\varphi (A^{\prime }\times B^{\prime })\subset H\cap U$，其中 $A^{\prime }=A\cap H$，$B^{\prime }=B\cap H$，并且 ${\varphi |}_H$ 的连续性是直接的。类似地，逆映射 $\tau$ 限制在 $H$ 上时连续。若 $H$ 是 $G$ 中的闭集，则称其为 $G$ 的 闭子群(closed subgroup)。

§19.3 · zh-CN · translation · unreviewed

李群 $G$ 的 李子群(Lie subgroup) $H$ 是一个子群，它本身是李群，并且使得由 $i(g)=g$ 定义的自然单射 $i:H\to G$ 将其变为 $G$ 的嵌入子流形。如果此外 $H$ 是 $G$ 的闭子集，则称其为 闭子群(closed subgroup)。在这种情况下，嵌入是正则的，其拓扑是由 $G$ 的拓扑诱导的拓扑（见例 15.12）。单射 $i$ 诱导出李代数同态 $i_{\ast }:\mathcal{H}\to (G)$，它显然是 $\mathcal{H}$ 与 $\mathcal{G}$ 的一个李子代数的同构。因此，我们可以把该李子群的李代数视为 $\mathcal{G}$ 的一个李子代数。

§19.3 · en · original_transcription · unreviewed

A Lie subgroup $H$ of a Lie group $G$ is a subgroup that is a Lie group, and such that the natural injection map $i:H\to G$ defined by $i(g)=g$ makes it into an embedded submanifold of $G$. It is called a closed subgroup if in addition $H$ is a closed subset of $G$. In this case the embedding is regular and its topology is that induced by the topology of $G$ (see Example 15.12). The injection $i$ induces a Lie algebra homomorphism $i_{\ast }:\mathcal{H}\to (G)$ , which is clearly an isomorphism of $\mathcal{H}$ with a Lie subalgebra of $\mathcal{G}$. We may therefore regard the Lie algebra of the Lie subgroup as being a Lie subalgebra of $\mathcal{G}$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=”../chapter-15/04-tangent-map-and-submanifolds#example-15-12”
• href=”../chapter-15/04-tangent-map-and-submanifolds#example-15-12”

来源覆盖、定位与记录

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