19.3 李子群

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李群 $G$ 的 李子群(Lie subgroup) $H$ 是一个子群，它本身是李群，并且使得由 $i(g)=g$ 定义的自然单射 $i:H\to G$ 将其变为 $G$ 的嵌入子流形。如果此外 $H$ 是 $G$ 的闭子集，则称其为 闭子群(closed subgroup)。在这种情况下，嵌入是正则的，其拓扑是由 $G$ 的拓扑诱导的拓扑（见例 15.12）。单射 $i$ 诱导出李代数同态 $i_{\ast }:\mathcal{H}\to (G)$，它显然是 $\mathcal{H}$ 与 $\mathcal{G}$ 的一个李子代数的同构。因此，我们可以把该李子群的李代数视为 $\mathcal{G}$ 的一个李子代数。

例 19.6

设 $T^2=S^1\times S^1$ 为二维环面，其中 $S^1$ 是一维李群，其复合为模 1 加法。这显然是一个李群，其元素可写成复数对 $({\mathrm{e}}^{i\theta },{\mathrm{e}}^{i\varphi })$，其中

$$({\mathrm{e}}^{i\theta },{\mathrm{e}}^{i\varphi })({\mathrm{e}}^{i{\theta }^{\prime }},{\mathrm{e}}^{i{\varphi }^{\prime }})=({\mathrm{e}}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })},{\mathrm{e}}^{i(\varphi +{\varphi }^{\prime })}).$$

子集

$$H=\{({\mathsf{e}}^{iat},{\mathsf{e}}^{ibt})|-\infty <t<\infty \}$$

对于任意的 $a$ 和 $b$ 值，它都是一个李子群。如果 $a/b$ 是有理数，则它与 $S^1$ 同构，嵌入是正则的，并且它是一个闭子流形。如果 $a/b$ 是无理数，则该子群绕环面无限次缠绕，并且在各处都任意接近自身。在这种情况下，嵌入不是正则的，诱导拓扑也不对应于子流形拓扑。它仍然被称为李子群。这样做是为了使所有李子代数都对应于李子群。

以下定理表明，$G$ 的李子群与 $\mathcal{G}$ 的李子代数之间存在一一对应。证明的细节略显技术性，感兴趣的读者可参阅所引文献以获得完整证明。

定理 19.4 · 李子代数对应唯一连通李子群 (Unique connected Lie subgroup for a Lie subalgebra)

设 $G$ 为李群，其李代数为 $\mathcal{G}$。对于 $\mathcal{G}$ 的每个李子代数 $\mathcal{H}$，存在唯一的连通李子群 $H\subseteq G$，其李代数为 $\mathcal{H}.$。

证明提纲

李子代数 $\mathcal{H}$ 通过下式在 $G$ 上定义分布 $D^k$：

$$D^k(g)=\{X_g|X\in \mathcal{H}\}.$$

设左不变向量场 $E_1,\dots ,E_k$ 构成李代数 $\mathcal{H}$ 的一组基，于是向量场 $X$ 属于 $D^k$ 当且仅当它具有形式 $X=X^i{E}_i$，其中 $X^i$ 是 $G.$ 上的实值函数。分布 $D^k$ 是对合的，因为若 $X$ 与 $Y$ 属于 $D^k$，则它们的李括号 [$X$, $Y$] 也如此：

$$[X,Y{]}_g=X^i(g)Y^j(g)C_{ij}^k{E}_k+X^i(g)E_i{Y}^j(g)E_j-Y^j(g)E_j{X}^i(g)E_i.$$

由 弗罗贝尼乌斯 定理 15.4，每一点 $g\in G$ 都有一个开邻域 $U$，使得每个 $h\in U$ 都位于 $G$ 的一个嵌入子流形 $N_h$ 中，且该子流形在所有点 $h^{\prime }\in N_h$ 处的切空间张成 $\mathcal{H}$。更具体地说，可以证明过 $G$ 的任意一点都存在唯一的极大连通积分子流形——见 [2, $p$. 92] 或 $[6,\mathsf{p}.48]$。设 $H$ 为过单位元 $e\in G$ 的极大连通积分子流形。由于 $D^k$ 在左平移下不变，$g^{-1}H=L_{g^{-1}}H$ 也是 $D^k$ 的积分子流形。由极大性，必有 $g^{-1}\subseteq H$。因此，$\mathrm{if}g,h\in H$ 蕴含 $g^{-1}h\in H$，从而 $H$ 是 $G$ 的子群。尚需证明 $(g,h)\mapsto g^{-1}h$ 关于 $H$ 上的可微结构是光滑函数，并且 $H$ 是以 $\mathcal{H}$ 为其李代数的唯一子群。更多细节可见 [6, $p$. 94]。-

若将李子代数取为 $\mathcal{H}=\mathcal{G}$，即 $G$ 自身的李代数，则对应于 $\mathcal{G}$ 的唯一李子群是单位元分支，通常记作 $G_0$

矩阵李群

第 2.3 节例 2.10–2.15 中讨论的所有群都是 矩阵李群(matrix Lie group) 的实例；也就是说，它们都是一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 的李子群。它们的李代数已在第 6.5 节中作了启发式讨论。

例 19.7

如例 19.4 所示，$GL(n,\mathbb{R})$ 的李代数同构于所有 $n\times n$ 矩阵关于对易子乘积 $[\mathsf{A},\mathsf{B}]=\mathsf{AB}-\mathsf{BA}$ 构成的李代数。所有无迹矩阵的集合 $\mathcal{H}=\{\mathsf{A}\in M_n(\mathbb{R})|\mathrm{tr}\mathsf{A}=0\}$ 是 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{R})$ 的李子代数，因为它显然是 $M_n(\mathbb{R})$ 的向量子空间，

$$\mathrm{tr}\mathsf{A}=0,\mathrm{tr}\mathsf{B}=0⟹\mathrm{tr}(\mathsf{A}+a\mathsf{B})=0,$$

并且对取对易子是闭的，

$$\mathrm{tr}[\mathsf{A},\mathsf{B}]=\mathrm{tr}(\mathsf{AB})-\mathrm{tr}(\mathsf{BA})=0.$$

因此它生成唯一的连通李子代数 $H\subset GL(n,\mathbb{R})$（见定理 19.4）。为证明该李子群是 幺模群(unimodular group) $SL(n,\mathbb{R})$，我们使用众所周知的恒等式

$$\det {\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{tr}\mathsf{A}}.\text{\hspace{1em}(19.11)}$$

因此，对于所有 $\mathsf{A}\in \mathcal{H}$

$$\det {\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}={\mathrm{e}}^{t\mathrm{tr}\mathsf{A}}={\mathrm{e}}^0=1,$$

而由例 19.5，整个单参数子群 $\exp (tA)$ 都位于幺模群 $SL(n,\mathbb{R})$ 中

由于映射 $\exp$ 是从 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{R})$ 中 0 的一个开邻域 $U$ 到 $\exp$($U$) 的微分同胚，连通邻域中每个非奇异矩阵 $X$ 在 $I$ 的连通邻域内都可唯一地表示为指数形式，$\mathsf{X}={\mathsf{e}}^{\mathsf{A}}$。注意这里连通性的重要性：非奇异矩阵的集合有两个连通分支，它们是 $\dot{\mathbb{R}}$ 的两个分支在连续映射 $\det$ : $GL(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 下的逆像。负行列式的矩阵显然不能通过 $GL(n,\mathbb{R})$ 中的光滑曲线与单位矩阵相连，因为行列式沿这样的曲线必须在某处变为零。特别地，子群 $SL(n,\mathbb{R})$ 是连通的，因为它是连通集合 1 在行列式映射下的逆像。每个 $\mathsf{X}\in SL(n,\mathbb{R})$ 都有 $\det$ $\mathsf{X}=1$，因此具有形式 $\mathsf{X}={\mathsf{e}}^{\mathsf{A}}$，其中，由式 (19.11)，$\mathsf{A}\in \mathcal{H}$。设 $H$ 为唯一的连通

根据定理 19.4，李子群 $H$ 的李代数为 $\mathcal{H},$。在单位元的邻域内，每个 $\mathsf{X}={\mathsf{e}}^{\mathsf{A}}$ 对某个 $\mathsf{A}\in \mathcal{H}.$ 成立，且每个形如 ${\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}$ 的矩阵都属于 $H$。因此，$SL(n,\mathbb{R})=H$ 是 $GL(n,\mathbb{R})$ 的连通李子群，其李代数为 $\begin{array}{r}S\mathcal{L}(n,\mathbb{R})=\mathcal{H}\end{array}$。由于李群与其李代数具有相同的维数，李群 $\dim$ $SL(n,\mathbb{R})=\dim \mathcal{H}=n^2-1$

李群 $GL(n,\mathbb{C})$ 的李代数同构于 $M_n(\mathbb{C})$，其括号 [$A$, $B$] 仍为复矩阵 $A$ 与 $B$ 的对易子。如第 6 章所讨论，这个复李代数必须视为一个实李代数的复化，方法是将标量域限制为实数。这样，任何维数为 $n$ 的复李代数都可看作维数为 2$n$ 的实李代数。作为实李群，$GL(n,\mathbb{C})$ 的维数为 $2n^2$，其李代数 $\mathcal{G}\mathcal{L}(n,\mathbb{C})$ 亦然。与上述类似的讨论可用于证明，由行列式为 1 的复矩阵构成的幺模群 $SL(n,\mathbb{C})$ 的李代数由迹为零的复 $n\times n$ 矩阵组成。$SL(n,\mathbb{C})$ 与 $\mathcal{SL}(n,\mathbb{C})$ 的（实）维数均为 $2n^2-2$

例 19.8

正交群 $O(n)$ 由满足以下条件的实 $n\times n$ 矩阵 $R$ 组成：

$${\mathsf{RR}}^T=\mathsf{I}.$$

单参数正交变换群具有形式 $\mathsf{R}(t)=\exp (t\mathsf{A})={\mathsf{e}}^{t\mathsf{A}}$，因此

$${\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}{\left({\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}\right)}^T={\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}{\mathrm{e}}^{t{\mathsf{A}}^T}=1.$$

对该矩阵方程关于$t$求导，得到

$${\mathsf{Ae}}^{t\mathsf{A}}{\mathsf{e}}^{t{\mathsf{A}}^T}+{\mathsf{e}}^{t\mathsf{A}}{\mathsf{e}}^{t{\mathsf{A}}^T}{\mathsf{A}}^T=\mathsf{A}+{\mathsf{A}}^T=\mathsf{O},$$

使得$A$是一个反对称矩阵。

斜对称 $n\times n$ 矩阵的集合 $\mathcal{O}(n)$ 构成一个李代数，因为它是 $M_n(\mathbb{R})$ 的向量子空间，并且关于对易子乘积是闭的，

$$\begin{array}{c}[\mathsf{A},\mathsf{B}{]}^T=(\mathsf{AB}-\mathsf{BA}{)}^T\\ ={\mathsf{B}}^T{\mathsf{A}}^T-{\mathsf{A}}^T{\mathsf{B}}^T\\ =-[{\mathsf{A}}^T,{\mathsf{B}}^T]=-[\mathsf{A},\mathsf{B}].\end{array}$$

由于对每个斜对称矩阵 $A$，矩阵 ${\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}$ 都是正交的，

$$\mathsf{A}=-{\mathsf{A}}^T⟹{\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}({\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}{)}^T={\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}{\mathrm{e}}^{{\mathsf{A}}^T}={\mathrm{e}}^{\mathsf{A}}{\mathrm{e}}^{-\mathsf{A}}=\mathsf{I},$$

$\mathcal{O}(n)$ 是对应于连通李子群 $SO(n)=O(n)\cap SL(n,\mathbb{R})$ 的李代数。该李群与李代数的维数显然为 $\frac{1}{2}n(n-1)$

类似的论证表明，复矩阵的酉群$U(n)$满足

$${\mathsf{UU}}^{†}\equiv \mathsf{U}{\overline{\mathsf{U}}}^T=\mathsf{I}$$

是一个李群，其李代数 $\mathcal{U}(n)$ 由斜厄米矩阵组成，即 $\mathsf{A}=-{\mathsf{A}}^{†}$ 。$U(n)$ 与 $\mathcal{U}(n)$ 的维数均为 $n^2$ 。群 $SU(n)=U(n)\cap SL(n,\mathbb{C})$ 的李代数由无迹斜厄米矩阵组成，其维数为 $n^2-1$

习题

习题 19.6

对任意 $n\times n$ 矩阵 $A$，证明

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\det {{\mathrm{e}}^{t\mathsf{A}}|}_{t=0}=\mathrm{tr}\mathsf{A}.$$

习题 19.7

证明式 (19.11)。一种方法是找到一个矩阵 $S$，使其通过如 4.2 节中的相似变换将 $A$ 化为上三角若尔当形，并利用行列式和迹在此类变换下均不变这一事实。

习题 19.8

证明 $GL(n,\mathbb{C})$ 和 $SL(n,\mathbb{C})$ 是连通李群。$U(n)$ 是连通群吗？

习题 19.9

证明群 $SL(n,\mathbb{R})$ 与 $SO(n)$ 是 $GL(N,\mathbb{R})$ 的闭子群，并且 $U(n)$ 与 $SU(n)$ 是 $GL(n,\mathbb{C})$ 的闭子群。进一步证明 $SO(n)$ 与 $U(n)$ 是紧李子群。

习题 19.10

如例 2.13 中那样，设辛群 $Sp(n)$ 由满足以下条件的 $2n\times 2n$ 矩阵 $S$ 组成：

$${\mathsf{S}}^T\mathsf{JS}=\mathsf{J},\mathsf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{O}& \mathsf{I}\\ -\mathsf{I}& \mathsf{O}\end{array}\right),$$

其中 $O$ 是 $n\times n$ 零矩阵，而 $L$ 是 $n\times n$ 单位矩阵。证明李代数 $S_{\mathcal{P}}(n)$ 由满足以下条件的矩阵 $A$ 组成

$${\mathsf{A}}^T\mathsf{J}+\mathsf{JA}=\mathsf{O}.$$

验证这些矩阵构成一个李代数并生成辛群。辛群的维数是多少？它是否是 $GL(2n,\mathbb{R})?$ 的闭子群？它是否紧？