格拉斯曼代数 (Grassmann algebra)

别名：Grassmann代数

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以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§6.4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§6.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.4	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§6.4 · zh-CN · translation · unreviewed

性质(EP3)使$\Lambda (V)$关于外积构成一个代数，称为$V$上的格拉斯曼代数(Grassmann algebra)或外代数(exterior algebra)。

§6.4 · en · original_transcription · unreviewed

Property (EP3) makes $\Lambda (V)$ into an algebra with respect to exterior product, called the Grassmann algebra or exterior algebra over $V$.

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§30.1 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§30.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中
§30.1	en · 中文上下文	术语出现；位于定义入口环境中

来源短摘录与定位

§30.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（ Grassmann代数(Grassmann algebra)）

在实数域上，由 ${\xi }_j$（$j=1,\dots ,n$）生成并满足下列关系的代数

$${\xi }_j{\xi }_k+{\xi }_k{\xi }_j=0$$

称为Grassmann代数。

§30.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition ( Grassmann algebra)

The algebra over $\mathbb{R}$ generated by ${\xi }_j$, $j=1,\dots ,n$, subject to

$${\xi }_j{\xi }_k+{\xi }_k{\xi }_j=0$$

is called the Grassmann algebra.

已登记作者陈述

• woit-qtgr §30.1 zh-CN · Grassmann代数 · 已登记definition · 定义入口。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• woit-qtgr §30.1 en · Grassmann代数 · 已登记definition · 定义入口。原有范围、语言、来源类别及审核状态全部保留；本次只确认阅读身份对应，不提升证据资格。
• Schwartz 第14章 · §14.6 分次、外代数类比与费米子场 · 讨论。原文称 odd-graded subalgebra 随即又说其不封闭；原文保留，术语冲突待审，不据此断言奇部是子代数。
• Schwartz 第14章 · §14.6 格拉斯曼代数 · 定义入口。Schwartz 此处采用复系数；Woit 30.1 的定义采用实数域；不消去基域差别。

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

Woit 从实向量空间的对偶基生成元出发，以反交换关系定义实系数 Grassmann 代数；这些关系也推出生成元平方为零。 woit-qtgr §30.1 en · Grassmann代数 · 已登记definition；Woit · §30.1

Szekeres 从实向量空间 $V$ 上的外积构造多向量代数：外积满足线性与反对称条件，并称所得外代数为 Grassmann 代数。 Szekeres · §6.4；Szekeres · §6.4

Schwartz 的构造使用复数系数，并以 ${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i$ 表示反交换；其段落还把奇分次部分称作子代数，随后指出它不封闭，因此这里保留作者的限定，不把奇部分当作封闭子代数。 Schwartz 第14章 · §14.6 格拉斯曼代数；Schwartz 第14章 · §14.6 分次、外代数类比与费米子场

Woit · 作者条件与约定

Woit 将由对偶空间基生成、满足反交换关系的实数域代数称为 Grassmann 代数，并指出生成元平方为零。

条件：$V={\mathbb{R}}^n$；代数定义在实数域上；生成元为 $V^{\ast }$ 的基元素 ${\xi }_j$。

记号：${\xi }_j{\xi }_k+{\xi }_k{\xi }_j=0$。

woit-qtgr §30.1 en · Grassmann代数 · 已登记definition

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres 将向量空间子空间作为代数对象，以外积相乘；所得 $\Lambda (V)$ 是外代数，也称 Grassmann 代数。

条件：$V$ 是实向量空间；外积对向量满足双线性和反对称关系。

记号：$u\wedge v=-v\wedge u$；$\Lambda (V)$。

Szekeres · §6.4

Schwartz · 作者条件与约定

Schwartz 以基 $\{{\theta }_i\}$ 生成 Grassmann 代数，讨论奇偶分次、微分形式类比及费米子场应用；原文对 fermionic subalgebra 同时说明其不封闭。

条件：系数可取复数；生成元两两反交换且加法交换。保留原文关于奇分次部分不封闭的限定。

记号：${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i$；单生成元时 $g=a+b\theta$，其中 $a,b\in \mathbb{C}$。

Schwartz 第14章 · §14.6 格拉斯曼代数；Schwartz 第14章 · §14.6 分次、外代数类比与费米子场

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

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