6.4 格拉斯曼代数

多重向量

赫尔曼·格拉斯曼采取了完全不同的方向来推广哈密顿的四元数代数（1844），其中不需要内积。格拉斯曼的想法是将向量空间的整个子空间视为单个代数对象，并定义一种将它们相乘的方法。由此得到的代数具有深远的应用，特别是在微分几何和流形上的积分理论中（见第16章和第17章）。在本章中，我们以相当直观的方式介绍格拉斯曼代数，将更形式化的表述留到第8章。

设 $V$ 为任意实向量空间。对任意一对向量 $u$ 、 $v \in V$ ，定义抽象量 $u \land v$ .，并对所有向量 $u$ 、 $v$ 、 $w \in V$ 和标量 $a$ 、 $b \in R$ 满足以下等同关系

(a u + b v) \land w = a u \land w + b v \land w, (6.8)

u \land v = - v \land u . (6.9)

任何量 $u \land v$ 都将被称为简单二向量(simple 2-vector) 或二重向量(bivector)。考虑到恒等式 (6.8) 和式 (6.9)，我们用 $Λ^{2} (V)$ 表示由所有简单二向量构成的集合所生成的向量空间。为避免混淆，我们将 $Λ^{2} (V)$ 中的向量加法用与向量空间 $V$ 相同的符号表示。 $Λ^{2} (V)$ 的每个元素 $A$ ，通常称为二向量，都可以写成二重向量之和，

A = i = 1 \sum r a_{i} u_{i} \land v_{i} = a_{1} u_{1} \land v_{1} + a_{2} u_{2} \land v_{2} + \dots + a_{r} u_{r} \land v_{r} . (6.10)

由式(6.8)和式(6.9)显然可知，楔积运算对第二个自变量是线性的，

u \land (a v + b w) = a u \land v + b u \land w . (6.11)

此外，对于任意向量 $u$ ，

u \land u = - u \land u ⟹ u \land u = 0.

作为一种直观辅助，将简单二向量 $u \land v$ 视为表示由 $u$ 和 $v$ 张成的子空间或“面积元”是有益的。如果 $u$ 与 $v$ 成比例，即 $v = a u$ ，则面积元退化为一条线并消失，这与 $u \land v = a u \land u = 0$ 一致。对于非简单二向量，没有明显的几何图像，而如式 (6.10) 中那样的简单二重向量之和必须以纯粹形式化的方式来理解。

若 $V$ 的维数为 $n$ ，且 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的一组基，则对任意一对向量 $u = u^{i} e_{i}, v = v^{j} e_{j}$

u \land v = u^{i} v^{j} e_{i} \land e_{j} = - v^{j} u^{i} e_{j} \land e_{i} .

设置

e_{ij} = e_{i} \land e_{j} = - e_{j i} (i, j = 1, 2, \dots, n)

由式 (6.10) 和式 (6.8) 可知， $Λ^{2} (V)$ 的所有元素都可以写成二重向量 $e_{ij}$ 的线性组合

A = A^{ij} e_{ij} .

此外，由于 $e_{ij} = - e_{j i}$ ，此和式中的每一项都可转换为若干项之和

A = i < j \sum (A^{ij} - A^{j i}) e_{ij},

而2-向量空间 $Λ^{2} (V)$ 由该集合张成

E_{2} = {e_{ij} ∣ 1 \leq i < j \leq n} .

由于 $E_{2}$ 由 $(2 n)$ 个元素组成，因此

dim (Λ^{2} (V)) \leq (2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2} .

在第8章的张量方法中将可看出，集合 $E_{2}$ 是线性无关的，因此

dim (Λ^{2} (V)) = (2 n) .

$r$ -向量空间 $Λ^{r} (V)$ 以类似方式定义。对于任意由 $r$ 个向量 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}$ 组成的集合，由这些向量张成的简单 $r$ -向量定义为抽象对象 $u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r}$ ，并将一般 $r$ -向量定义为简单 $r$ -向量的形式线性求和，

A = J = 1 \sum N a_{J} u_{J 1} \land u_{J 2} \land \dots \land u_{J r} where a_{J} \in R, u_{J i} \in V .

在形成此类和时，我们在第一个参数中施加线性性，

(a u_{1} + b u_{1}^{'}) \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = a u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} + b u_{1}^{'} \land u_{2} \land \dots \land u_{r}, (6.12)

以及任意一对向量中的反对称性，

u_{1} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{j} \land \dots \land u_{r} = - u_{1} \land \dots \land u_{j} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{r} . (6.13)

对于2-向量，线性性分别对每个自变量成立

u_{1} \land \dots \land (a u_{i} + b u_{i}^{'}) \land \dots \land u_{r} = a u_{1} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{r} + b u_{1} \land \dots \land u_{i}^{'} \land \dots \land u_{r},

而对于 $1, 2, \dots, r$ 的一般置换 $π$

u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = (- 1)^{π} u_{π (1)} \land u_{π (2)} \land \dots \land u_{π (r)} . (6.14)

若 $u_{1}, \dots, u_{r}$ 中有任意两个向量相等，则 $u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r}$ 为零，

u_{1} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{r} = - u_{1} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{i} \land \dots \land u_{r} = 0. (6.15)

同样地，可以将一个简单 $r$ -向量视为具有由向量 $u_{1}, \dots, u_{r}$ 张成的 $r$ 维子空间或体积元的几何解释。一般的 $r$ -向量是此类体积元的形式和。

若 $V$ 的维数为 $n$ ，且 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的一组基，则定义 $r$ -向量是方便的

e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \dots \land e_{i_{r}} .

对 $1, 2, \dots, r$ 的任意置换 $π$ ，式 (6.14) 蕴含

e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = (- 1)^{π} e_{i_{π (1)} i_{π (2)} \dots i_{π (r)}},

而如果任意一对指标相等，例如对某个 $1 \leq a < b \leq r$ 有 $i_{a} = i_{b}$ ，则 $e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = 0$ 例如

e_{123} = - e_{321} = e_{231}, etc. e_{112} = e_{233} = 0, etc.

通过对向量 $e_{j}$ 作置换， $r$ -向量 $e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ 可以化为一种形式，其中 $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r}$ ，至多相差一个符号。由于由向量 $u_{1} = u_{1}^{i} e_{i}, \dots, u_{r} = u_{r}^{i} e_{i}$ 张成的简单 $r$ -向量由下式给出

u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = u_{1}^{i_{1}} u_{2}^{i_{2}} \dots u_{r}^{i_{r}} e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}},

向量空间 $Λ^{r} (V)$ 由该集合张成

E_{r} = {e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} ∣ 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n} .

至于 $r = 2$ 的情形，每个 $r$ 向量 $A$ 都可以利用求和约定写成，

A = A^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}, (6.16)

其可重写为以下形式

A = i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \sum \tilde{A}^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} (6.17)

其中

\tilde{A}^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = σ \sum (- 1)^{σ} A^{i_{σ (1)} i_{σ (2)} \dots i_{σ (r)}} .

当写成第二种形式时，分量 $\tilde{A}^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ 是全反对称的，

\tilde{A}^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = (- 1)^{π} \tilde{A}^{i_{π (1)} i_{π (2)} \dots i_{π (r)}}

对 $(1, 2, \dots, r)$ 的任意置换 $π$ 。由于不存在进一步的代数关系可用于简化 $E_{r}$ 中的 $r$ -向量，我们可以再次假设 $e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ 线性无关。于是 $Λ^{r} (V)$ 的维数就是从 $n$ 个指标值 ${1, 2, \dots, n}$ 中选取 $r$ 个值的方式数，即

dim Λ^{r} (V) = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} .

对于 $r > n$ ，维数为零，即 $dim Λ^{r} (V) = 0$ ，因为每个基 $r$ -向量 $e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{r}}$ 必由式 (6.15) 消失，这是由于某一对指标必然相等。

外积

将原始向量空间 $V$ 设为 $Λ^{1} (V)$ ，并用 $Λ^{0} (V) = R$ 表示标量域，我们定义向量空间

Λ (V) = Λ^{0} (V) \oplus Λ^{1} (V) \oplus Λ^{2} (V) \oplus \dots \oplus Λ^{n} (V) .

$Λ (V)$ 的元素称为多重向量(multivector)，可以唯一地写成如下形式

A = A_{0} + A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n} where A_{r} \in Λ^{r} (V) .

$Λ (V)$ 的维数由二项式定理求得，

dim (Λ (V)) = r = 0 \sum n (r n) = (1 + 1)^{n} = 2^{n} . (6.18)

对任意一对多重向量 $A$ 与 $B$ 定义一种复合运算 $A \land B$ ，称为外积(exterior product)，满足以下规则：

(EP1) 若 $A = a \in R = Λ^{0} (V)$ 且 $B \in Λ^{r} (V)$ ，则外积定义为标量乘法， $a \land B = B \land a = a B$

(EP2) 若 $A = u_{1} \land u_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land u_{r}$ 是一个简单 $r$ -向量，且 $B = v_{1} \land v_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land v_{s}$ 是一个简单 $s$ -向量，则它们的外积定义为简单 $(r + s)$ -向量

A \land B = u_{1} \land \dots \land u_{r} \land v_{1} \land \dots \land v_{s} .

(EP3) 外积 $A \land B$ 对两个自变量都是线性的，

(a A + b B) \land C = a A \land C + b B \land C, A \land (a B + b C) = a A \land B + b A \land C .

性质(EP3)使 $Λ (V)$ 关于外积构成一个代数，称为 $V$ 上的格拉斯曼代数(Grassmann algebra)或外代数(exterior algebra)。

由(EP2)，一个基 $r$ -向量与一个基 $s$ -向量的乘积是

e_{i_{1} \dots i_{r}} \land e_{j_{1} \dots j_{s}} = e_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}}, (6.19)

并且由于

e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} \land (e_{j_{1} j_{2} \dots j_{s}} \land e_{k_{1} k_{2} \dots k_{t}}) = (e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} \land e_{j_{1} j_{2} \dots j_{s}}) \land e_{k_{1} k_{2} \dots k_{t}} = e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r} j_{1} j_{2} \dots j_{s} k_{1} k_{2} \dots k_{t}}

结合律由线性性条件 (EP3) 对所有多重向量成立，

A \land (B \land C) = (A \land B) \land C for all A, B, C \in Λ (V) .

因此， $Λ (V)$ 是一个结合代数。一个 $r$ -向量与一个 $s$ -向量的乘积总是一个 $(r + s)$ -向量，这一性质正是通常所谓的分次代数(graded algebra) 的特征。

例 6.5

多重向量的一般乘积可以直接由基元素的外积计算得到。一些简单的例子是
$e_{i} \land e_{j} = e_{ij} = - e_{j i} = - e_{j} \land e_{i},$ $e_{i} \land e_{i} = 0 for all i = 1, 2, \dots, n,$ $e_{1} \land e_{23} = e_{123} = - e_{132} = - e_{213} = - e_{2} \land e_{13},$ $e_{14} \land e_{23} = e_{1423} = - e_{1324} = - e_{13} \land e_{24} = e_{1234} = e_{12} \land e_{34},$ $e_{24} \land e_{14} = e_{2414} = 0,$ $(a e_{1} + b e_{23}) \land (a^{'} + b^{'} e_{34}) = a a^{'} e_{1} + a^{'} b e_{23} + a b^{'} e_{134} .$

外积的性质

若 $A$ 是一个 $r$ -向量，而 $B$ 是一个 $s$ -向量，则它们满足“反交换规则

A \land B = (- 1)^{r s} B \land A . (6.20)

由于每个 $r$ -向量按定义都是简单 $r$ -向量的线性组合，因此只需对简单 $r$ -向量和 $s$ -向量证明式 (6.20)

A = x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{r}, B = y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{s} .

依次对每个向量 $y_{i}$ 进行 $r$ 次位置交换，将其移到 $x_{1}$ 之前，于是得到

A \land B = x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{r} \land y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{s} = (- 1)^{r} y_{1} \land x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{r} \land y_{2} \land \dots \land y_{s} = (- 1)^{2 r} y_{1} \land y_{2} \land x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{r} \land y_{3} \land \dots \land y_{s} = \dots = (- 1)^{sr} y_{1} \land y_{2} \land \dots \land y_{s} \land x_{1} \land x_{2} \land \dots \land x_{r} = (- 1)^{r s} B \land A,

按要求。因此，一个 $r$ 向量与一个 $s$ 向量反交换，即 $A \land B = - B \land A$ ，当 $r$ 和 $s$ 均为奇时。若其中任一为偶次，则它们交换。

下述定理给出了一种特别快捷且有用的方法，用于判定给定向量集合是否线性无关。

定理 6.2 · 线性相关与外积消失 (Linear dependence and vanishing exterior products)

向量 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}$ 线性相关，当且仅当其楔积为零，
$u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = 0.$

证明

若这些向量线性相关，则不失一般性，我们可以假设 $u_{1}$ 是其余向量的线性组合，

u_{1} = a^{2} u_{2} + a^{3} u_{3} + \dots + a^{r} u_{r} .

因此

u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = \sum_{i = 2}^{r} a^{i} u_{i} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = \sum_{i = 2}^{r} \pm a^{i} u_{2} \land \dots \land u_{i} \land u_{i} \land \dots \land u_{r} = 0.

这证明了定理的必要性部分。

反之，假设 $u_{1}, \dots, u_{r} (r \leq n)$ 线性无关。由定理 3.7，存在 $V$ 的一个基 ${e_{j}}$ ，使得

e_{1} = u_{1}, e_{2} = u_{2}, \dots, e_{r} = u_{r} .

由于 $e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{r}$ 是 $Λ^{r} (V)$ 的基向量，它不能为零。

例 6.6

若 $e_{1}, e_{2}$ 和 $e_{3}$ 是向量空间 $V$ 的三个基向量，则向量 $e_{1} + e_{3}, e_{2} + e_{3}, e_{1} + e_{2}$ 线性无关，因为
$(e_{1} + e_{3}) \land (e_{2} + e_{3}) \land (e_{1} + e_{2}) = (e_{12} + e_{13} + e_{32}) \land (e_{1} + e_{2}) = e_{132} + e_{321} = 2 e_{132} \neq = 0.$
另一方面，向量 $e_{1} - e_{3}, e_{2} - e_{3}, e_{1} - e_{2}$ 线性相关，因为
$(e_{1} - e_{3}) \land (e_{2} - e_{3}) \land (e_{1} - e_{2}) = (e_{12} - e_{13} - e_{32}) \land (e_{1} - e_{2}) = e_{132} - e_{321} = 0.$
我们在第8章回到外代数的主题。

习题

习题 6.9

设 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 是维数为 $n \geq 5$ 的向量空间 $V$ 的一个基。通过计算它们的楔积，判断下列向量是线性相关还是线性无关
$e_{1} + e_{2} + e_{3}, e_{2} + e_{3} + e_{4}, e_{3} + e_{4} + e_{5}, e_{1} + e_{3} + e_{5} .$
你能在它们之间找到一个线性关系吗？

习题 6.10

设 $W$ 是一个维数为 4 的向量空间， ${e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}$ 是一组基。设 $A$ 是 $W$ 上的 2-向量
$A = e_{2} \land e_{1} + a e_{1} \land e_{3} + e_{2} \land e_{3} + c e_{1} \land e_{4} + b e_{2} \land e_{4} .$
明确写出方程 $A \land u = 0$ ，其中 $u = u^{1} e_{1} + u^{2} e_{2} + u^{3} e_{3} + u^{4} e_{4}$ ，并证明其有非平凡解当且仅当 $c = ab$ 。在此情形下，求两个向量 $u$ 和 $v$ ，使得 $A = u \land v$ .

习题 6.11

设 $U$ 是由线性无关向量 ${u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}}$ 张成的 $V$ 的子空间

(a) 证明：由子空间 $U$ 唯一确定到相差一个因子的 $p$ -向量 $E_{U} = u_{1} \land u_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land u_{p}$ ，其意义是：若 ${u_{1}^{'}, u_{2}^{'}, \dots, u_{p}^{'}}$ 是张成 $U$ 的任意其他线性无关集合，则 $p$ -向量 $E_{U}^{'} \equiv u_{1}^{'} \land \cdot \cdot \cdot \land u_{p}^{'}$ 与 $E_{U}; i . e ., E_{U}^{'} = c E_{U}$ 成比例，即对某个标量 $c$ 有该关系。

(b) 设 $W$ 是 $V$ 的 $q$ 维子空间，对应 $q$ 向量 $E_{W}$ 。证明： $U \subseteq W$ 当且仅当存在 $a (q - p)$ 向量 $F$ ，使得 $E_{W} = E_{U} \land F$

(c) 证明：若 $p > 0$ 且 $q > 0$ ，则 $U \cap W = {0}$ 当且仅当 $E_{U} \land E_{W} \neq = 0$

Szekeres · 数学物理

章节

6.4 格拉斯曼代数

多重向量

外积

外积的性质

习题

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