Groenewold-van Hove

别名：Groenewold–van Hove

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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定理（Groenewold–van Hove）

不存在映射 $f\mapsto O_f$，将 ${\mathbf{R}}^2$ 上的多项式映到作用在 $L^2(\mathbf{R})$ 上的自伴算符，并满足

$$O_{\{f,g\}}=-\frac{i}{\hslash }[O_f,O_g]$$

以及

$$O_p=P,O_q=Q$$

对于 ${\mathbf{R}}^2$ 上函数所成的任意李子代数，只要次数不超过二的多项式所成子代数是其真子代数，以上条件就不可能同时成立。

证明

详细证明见[8]的第 5.4 节、[26]的第 4.4 节或[37]的第 16 章。概要而言，证明先表明，三次多项式的泊松括号会产生更高次多项式；而且，对于次数三及以上的多项式，不存在次数有统一上界的有限维子代数。定理假设迫使三次项采用某些特定的算符排序；随后利用同一个四次多项式可写成两个不同泊松括号的事实，在四次项中导出矛盾：

$$q^2{p}^2=\frac{1}{3}\{q^{2}p,p^{2}q\}=\frac{1}{9}\{q^3,p^3\}$$

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Theorem (Groenewold-van Hove)

There is no map $f\mapsto O_f$ from polynomials on ${\mathbf{R}}^2$ to self-adjoint operators on $L^2(\mathbf{R})$ satisfying

$$O_{\{f,g\}}=-\frac{i}{\hslash }[O_f,O_g]$$

and

$$O_p=P,O_q=Q$$

for any Lie subalgebra of functions on ${\mathbf{R}}^2$ in which the subalgebra of polynomials of degree at most two is a proper subalgebra.

Proof

For a detailed proof, see section 5.4 of [8], section 4.4 of [26], or chapter 16 of [37]. In outline, the proof begins by showing that Poisson brackets of degree-three polynomials produce higher-degree polynomials; moreover, for degree three and above there are no finite-dimensional subalgebras consisting of polynomials of bounded degree. The theorem’s assumptions force certain specific operator-ordering choices in degree three. These yield a contradiction in degree four, because the same degree-four polynomial has two different expressions as a Poisson bracket:

$$q^2{p}^2=\frac{1}{3}\{q^{2}p,p^{2}q\}=\frac{1}{9}\{q^3,p^3\}$$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [第 5.4 节](../chapter-05/04-lie-algebra-representations)
• [第 4.4 节](../chapter-04/04-inner-products)
• [第 16 章](../chapter-16/index#section-16)
• [section 5.4](../chapter-05/04-lie-algebra-representations)
• [section 4.4](../chapter-04/04-inner-products)
• [chapter 16](../chapter-16/index#section-16)

来源覆盖、定位与记录

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