有界算符的伴随 (adjoint of a bounded operator)

别名：adjoint；伴随

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来源短摘录与定位

§13.4 · zh-CN · translation · unreviewed

$A:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$是希尔伯特空间$\mathcal{H}$上的有界线性算符，我们定义其伴随(adjoint)是算符$A^{\ast }:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$，而且有性质

§13.4 · en · original_transcription · unreviewed

Let $A:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ be a bounded linear operator on a Hilbert space $\mathcal{H}.$ We define its adjoint to be the operator $A^{\ast }:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ that has the property

编辑导读与作者比较

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希尔伯特空间上有界线性算符 $A$ 的伴随 $A^{\ast }$ 由内积关系唯一确定：

$$⟨u\mid Av⟩=⟨A^{\ast }u\mid v⟩\text{对全体}u,v\in \mathcal{H}\text{\hspace{1em}(13.9)}$$

Szekeres · §13.4

作者构造伴随时固定 $u$，把 $v\mapsto ⟨u\mid Av⟩$ 视为连续线性泛函，再用 Riesz 表示定理得到唯一的 $A^{\ast }u$；随后验证所得算符线性且有界。 Szekeres · §13.4；Szekeres · §13.4

伴随运算会反转算符乘积的顺序：$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$ Szekeres · §13.4

Szekeres · 作者条件与约定

作者先说明有界算符与范数连续的关系，再在希尔伯特空间上利用 Riesz 表示定理定义伴随，证明其存在、唯一、线性和有界，并列出伴随对加法、数乘、乘积及逆运算的性质。

条件：$A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的有界线性算符；内积关系对所有 $u,v\in \mathcal{H}$ 成立。

记号：伴随记作 $A^{\ast }$；复有限维矩阵的对应形式为共轭转置 ${\mathsf{A}}^{†}$。

Szekeres · §13.4；Szekeres · §13.4

来源覆盖、定位与记录

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