元辛表示 (metaplectic representation)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§25 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

本章把第24章的 $d=1$ 情形推广到任意 $d$。选取 $d$ 个湮灭算符和 $d$ 个产生算符，会突出子群 $U(d)\subset Sp(2d,\mathbb{R})$：其中的变换不混合湮灭算符与产生算符。元辛表示(metaplectic representation)给出该子群的一个双覆盖表示。我们将看到，对湮灭算符与产生算符的乘积作正规序(normal ordering)后，得到的是 $U(d)$ 本身的表示，而非其双覆盖群的表示。由此，相空间上 $U(d)$ 的作用在 $d$ 维谐振子的态空间上诱导出一个无限维表示。

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This chapter generalizes the $d=1$ case of Chapter 24 to arbitrary $d$. Choosing $d$ annihilation operators and $d$ creation operators singles out a distinguished subgroup $U(d)\subset Sp(2d,\mathbb{R})$: the transformations that do not mix annihilation and creation operators. The metaplectic representation gives a representation of a double cover of this subgroup. We will see that normal ordering products of annihilation and creation operators yields a representation of $U(d)$ itself, rather than of the double cover. Thus the action of $U(d)$ on finite-dimensional phase space induces an infinite-dimensional representation on the state space of the $d$-dimensional harmonic oscillator.

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来源覆盖、定位与记录

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