循环群 (cyclic group)

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来源短摘录与定位

§2.1 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.5

如果一个群 $G$ 有一个元素 $a$，使得它的幂 $\left\{a,a^2,a^3,\dots \right\}$ 遍历其所有元素，则称 $G$ 为循环群(cyclic group)，而 $a$ 称为群的生成元(generator)。如果 $G$ 是一个有限的循环群，$a$ 是一个生成元，那么存在一个正整数 $m$，使得 $a^m=e$。如果 $m$ 是最小的这样的整数，那么对于任意 $g\in G$，都可以唯一地写成 $g=a^i$，其中 $1\le i\le m$，因为如果 $g=a^i=a^j$，且 $1\le i<j\le m$，则有矛盾 $a^{j-i}=e$，而 $1\le (j-i)<m$。在这种情况下，群被表示为 $C_m$，其阶数为 $\left|C_m\right|=m$。模 $k$ 的加法群是一个阶数为 $k$ 的循环群，但在这种情况下，$a^n$ 的表示方式被替换为

$$na=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}\mathrm{mod}k.$$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-5”

来源覆盖、定位与记录

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