4.4 多面体的基本群

上一节中基本群的计算在某种意义上说是特设性的，我们当然需要一种更系统的计算基本群的方法。所幸的是，如果空间 $X$ 是可三角剖分的，我们就能通过一套常规程序算出多面体 $K$ 的基本群，从而也算出 $X$ 的基本群。下面先从群论的若干内容谈起。

4.4.1 自由群与关系

这里定义的自由群不一定是阿贝尔群，并且我们对群运算采用乘法记号。若群 $G$ 的子集 $X=\{x_j\}$ 使得 $G$ 中任一元素 $g\in G-\{e\}$ 都能唯一地写成

$$g=x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\text{\hspace{1em}(4.14)}$$

（其中 $n$ 有限且 $i_k\in \mathbb{Z}$），则称 $n$ 为 $x_j$ 的一个自由生成元集。我们假定相邻的 $x_j$ 互不相等，即 $x_j\ne x_{j+1}$。若 $i_j=1$，则 $x_j^1$ 就简记为 $x_j$；若 $i_j=0$，则 $g$ 中的项 $x_j^0$ 应当删去。例如，$g=a^3{b}^{-2}c{b}^3$ 是可以接受的，而 $h=a^3{a}^{-2}c{b}^0$ 则不行。若要求每个元素都唯一地写出，就必须把 $h$ 约化为 $h=ac$。若群 $G$ 具有自由生成元集，则称它为自由群。

反过来，给定一个集合 $X$，我们可以构造一个以 $X$ 为自由生成元集的自由群 $G$。我们把 $X$ 的每个元素称为一个字母(letter)。乘积

$$w=x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

称为一个字，其中 $x_j\in X$ 且 $i_j\in \mathbb{Z}$。若 $i_j\ne 0$ 且 $x_j\ne x_{j+1}$，则称该字为约化字(reduced word)。任何字总可以经过有限步约化。例如，

$$a^{-2}{b}^{-3}{b}^3{a}^4{b}^3{c}^{-2}{c}^4=a^{-2}{b}^0{a}^4{b}^3{c}^2=a^2{b}^3{c}^2.$$

不含任何字母的字称为空字(empty word)，记作 1。例如，将 $w=a^0$ 约化即得到空字。

字的乘积(product)定义为把两个字直接并置。注意，两个约化字并置后未必仍是约化字，但总可以将其约化。例如，若 $v=a^2{c}^{-3}{b}^2$ 而 $w=b^{-2}{c}^2{b}^3$ ，则乘积 $vw$ 约化为

$$vw=a^2{c}^{-3}{b}^2{b}^{-2}{c}^2{b}^3=a^2{c}^{-3}{c}^2{b}^3=a^2{c}^{-1}{b}^3.$$

于是，全体约化字构成的集合成为一个定义良好的自由群，称为由 $X$ 生成的自由群(free group)，记作 $F[X]$ 。其乘法是把两个字并置后再约化，单位元是空字，而

$$w=x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$$

的逆元为

$$w^{-1}=x_n^{-i_n}\dots x_2^{-i_2}{x}_1^{-i_1}.$$

练习 4.3

设 $X=\{a\}$。证明由 $X$ 生成的自由群同构于 $\mathbb{Z}$。

一般地，一个任意群 $G$ 由生成元以及这些生成元必须满足的某些约束来确定。若 $\{x_k\}$ 是生成元集合，则这些约束最常写成

$$r=x_{k_1}^{i_1}{x}_{k_2}^{i_2}\dots x_{k_n}^{i_n}=1\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

并称为关系(relation)。例如，由 $x$ 生成的 $n$ 阶循环群（用乘法记号）满足关系 $x^n=1$。

更形式地说，设 $G$ 是由 $X=\{x_k\}$ 生成的群。任一元素 $g\in G$ 都可写成 $g=x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$，这里并不要求该表达式唯一（$G$ 未必是自由的）。例如，在 $\mathbb{Z}$ 中有 $x^i=x^{n+1}$。设 $F[X]$ 是由 $X$ 生成的自由群，则存在一个自然的满同态 $\phi$，它从 $F[X]$ 到 $G$，由下式定义：

$$x_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\stackrel{\phi }{⟶}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\in G.\text{\hspace{1em}(4.17)}$$

注意这不是同构，因为左端并不唯一。由于 $X$ 同时生成 $F[X]$ 和 $G$，故 $\phi$ 是满射。虽然 $F[X]$ 与 $G$ 不同构，但 $F[X]/\ker \phi$ 与之同构（见theorem 3.1），

$$F[X]/\ker \phi \cong G.\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

在这个意义上，生成元集合 $X$ 与 $\ker \phi$ 完全确定了群 $G$。[$\ker \phi$ 是正规子群。Lemma 3.1 断言 $\ker \phi$ 是 $F[X]$ 的子群。设 $r\in \ker \phi$，即 $r\in F[X]$ 且 $\phi (r)=1$。对任意元素 $x\in F[X]$，有 $\phi (x^{-1}rx)=\phi (x^{-1})\phi (r)\phi (x)=\phi (x{)}^{-1}\phi (r)\phi (x)=1$，从而 $x^{-1}rx\in \ker \phi$。]

这样，由 $X$ 生成的群 $G$ 就由关系来确定。生成元与关系的并列写法

$$\left(x_1,\dots ,x_p;r_1,\dots ,r_q\right)\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

称为 $G$ 的表现(presentation)。例如，${\mathbb{Z}}_n=(x;x^n)$ 和 $\mathbb{Z}=(x;\varnothing )$。

例 4.4

设 $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}=\{x^n{y}^m|n,m\in \mathbb{Z}\}$ 是由 $X=\{x,y\}$ 生成的自由阿贝尔群。于是有 $xy=yx$。由于 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1$，我们得到关系 $r=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$。$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ 的表现是 $(x,y:xy{x}^{-1}{y}^{-1})$。

4.4.2 多面体基本群的计算

这里我们只作粗略的叙述，以免陷入技术细节。我们沿用 Armstrong（1983）的做法；有兴趣的读者可参阅该书或任何一本代数拓扑教材。正如上一章所指出的，多面体 $|K|$ 是在同胚意义下对给定拓扑空间 $X$ 的一个良好近似。由于基本群是拓扑不变量，我们有 ${\pi }_1(X)={\pi }_1(|K|)$。我们假定 $X$ 是弧连通空间，并略去基点。因此，只要有了系统计算 ${\pi }_1(|K|)$ 的方法，也就能求出 ${\pi }_1(X)$。

我们先定义单纯复形的棱群，它与拓扑空间的基本群相对应，然后介绍一种计算它的简便方法。设 $f:|K|\to X$ 是拓扑空间 $X$ 的一个三角剖分。若注意到 $X$ 的基本群中的元素可由 $X$ 中的环路代表，我们便可期望在 $|K|$ 中也存在类似的环路。由于 $|K|$ 中的任何环路都由 1-单形组成，我们考察 $|K|$ 中所有 1-单形构成的集合，可以赋予它一个群结构，称为 $K$ 的棱群(edge group)。

单纯复形 $K$ 中的棱路径(edge path)是指 $|K|$ 的一列顶点 $v_0{v}_1\dots v_k$，其中相邻的一对 $v_i{v}_{i+1}$ 是 $|K|$ 的 0-单形或 1-单形。[出于技术上的原因，我们允许出现 $v_i=v_{i+1}$ 的情形，此时相应的单形是 0-单形 $v_i=v_{i+1}$。] 若 $v_0=v_k(=v)$，则称该棱路径为 $v$ 处的棱环路(edge loop)。我们按照某种等价关系把这些环路分成等价类。若两个棱环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 中的一个可由另一个经过有限次重复下列操作得到，就称它们是等价的。

(1) 若顶点 $u,v$ 与 $w$ 张成 $K$ 中的一个 2-单形，则棱路径 $uvw$ 可以替换为 $uw$，反之亦然；见图 4.10(a)。
(2) 作为特殊情形，若 (1) 中 $u=w$，则棱路径 $uvw$ 对应于先沿 $uv$ 行进、再从 $v$ 反向折回 $w=u$。该棱路径 $uvu$ 可以替换为 0-单形 $u$，反之亦然，见图 4.10(b)。

图 4.10. 棱环路可能的形变。在 (a) 中，$uvw$ 被替换为 $uw$。在 (b) 中，$uvu$ 被替换为 $u$。

我们把 $v$ 处的棱环路中 $v{v}_1\dots v_{k-1}v$ 所属的等价类记为 $\{v{v}_1\dots v_{k-1}v\}$。这些等价类在由下式定义的乘法运算(product operation)下构成一个群：

$$\left\{v{u}_1\dots u_{k-1}v\right\}\ast \left\{v{v}_1\dots v_{i-1}v\right\}=\left\{v{u}_1\dots u_{k-1}v{v}_1\dots v_{i-1}v\right\}.\text{\hspace{1em}(4.20)}$$

单位元是等价类 $\{v\}$，而 $\{v{v}_1\dots v_{k-1}v\}$ 的逆元是 $\{v{v}_{k-1}\dots v_{1}v\}$。这个群称为 $K$ 在 $v$ 处的棱群(edge group)，记作 $E(K;v)$。

定理 4.7

$E(K;v)$ 与 ${\pi }_1(|K|;v)$ 同构。

例如，证明可在 Armstrong (1983) 中找到。这个同构 $\phi :E(K;v)\to {\pi }_1(|K|;v)$ 是通过把 $K$ 中的棱环路与 $|K|$ 中的环路等同起来而给出的。为求出 $E(K;v)$，我们需要读出其生成元与关系。设 $L$ 是 $K$ 的一个单纯子复形，使得

(a) $L$ 包含 $K$ 的所有顶点（0-单形）；
(b) 多面体 $|L|$ 是弧连通的且单连通的。

给定一个弧连通的单纯复形 $K$，总存在满足这些条件的子复形 $L$。一个弧连通且单连通的一维单纯复形称为树(tree)。若树 $T_{\mathrm{M}}$ 不是其他树的真子集，则称它为 $K$ 的极大树(maximal tree)。

引理 4.3

极大树 $T_{\mathrm{M}}$ 包含 $K$ 的所有顶点，因而满足上述条件 (a) 与 (b)。

证明

设 $T_{\mathrm{M}}$ 不包含某个顶点 $w$。由于 $K$ 是弧连通的，故存在 $K$ 中的 1-单形 $vw$，使得 $v\in T_{\mathrm{M}}$ 且 $w\notin T_{\mathrm{M}}$。而 $T_{\mathrm{M}}\cup \{vw\}\cup \{w\}$ 是 $K$ 的一个一维子复形，它弧连通、单连通且包含 $T_{\mathrm{M}}$，这与假设矛盾。

假设我们已以某种方式得到了子复形 $L$。由于 $|L|$ 是单连通的，$|L|$ 中的棱环路对 $E(K;v)$ 没有贡献。因此，在计算中我们可以有效地忽略 $L$ 中的单形。设 $v_0(=v),v_1,\dots ,v_n$ 为 $K$ 的顶点。若 $⟨v_i{v}_j⟩$ 是 $K$ 的 1-单形，则对每一对有序顶点 $v_i,v_j$ 指定一个“对象” $g_{ij}$。设 $G(K;L)$ 是由所有 $g_{ij}$ 生成的群。那么关系如何呢？我们有下列关系。

(1) 由于我们忽略 $L$ 中的那些单形，故当 $⟨v_i{v}_j⟩\in L$ 时，我们指定 $g_{ij}=1$。
(2) 若 $⟨v_i{v}_j{v}_k⟩$ 是 $K$ 的 2-单形，则围绕 $v_i{v}_j{v}_k$ 没有非平凡环路，于是有关系 $g_{ij}{g}_{jk}{g}_{ki}=1$。

生成元 $\{g_{ij}\}$ 与关系集完全确定了群 $G(K;L)$。

定理 4.8

$G(K;L)$ 与 $E(K;v)\simeq {\pi }_1(|K|;v)$ 同构。

事实上，我们还可以比表面上更为高效。例如，由于 $g_{ii}$ 对应于顶点 $v_i$，而该顶点是 $L$ 的元素，故应令 $g_{ii}$ 等于 1。此外，由 $g_{ij}{g}_{ji}=g_{ii}=1$ 可得 $g_{ij}=g_{ji}^{-1}$。因此，我们只需对每一对满足 $⟨v_i{v}_j⟩\in K-L$ 且 $i<j$ 的顶点 $v_i,v_j$ 引入相应的生成元 $g_{ij}$。由于不存在满足 $⟨v_i{v}_j⟩\in L$ 的生成元 $g_{ij}$，我们可以忽略第一类关系。若 $⟨v_i{v}_j{v}_k⟩$ 是 $K-L$ 的 2-单形且满足 $i<j<k$，则由于我们只关心满足 $i<j$ 的单形 $⟨v_i{v}_j⟩$，相应的关系唯一地由 $g_{ij}{g}_{jk}=g_{ik}$ 给出。

归纳起来，具体做法如下。

(1) 首先，求出一个三角剖分 $f:|K|\to X$。
(2) 求出子复形 $L$，它弧连通、单连通，并且包含 $K$ 的所有顶点。
(3) 对 $K-L$ 中满足 $i<j$ 的每个 1-单形 $⟨v_i{v}_j⟩$，指定一个生成元 $g_{ij}$。
(4) 若存在满足 $i<j<k$ 的 2-单形 $⟨v_i{v}_j{v}_k⟩$，则施加关系 $g_{ij}{g}_{jk}=g_{ik}$。若顶点 $v_i,v_j$ 与 $v_k$ 中有两个构成 $L$ 的 1-单形，则相应的生成元应取为 1。
(5) 于是 ${\pi }_1(X)$ 与 $G(K;L)$ 同构，而后者是由 $\{g_{ij}\}$ 生成、并满足 (4) 中所得关系的群。

下面我们来计算几个例子。

例 4.5

由我们的构造应当可以看出，$E(K;v)$ 与 $G(K;L)$ 只涉及 $K$ 的 0-、1- 与 2-单形。因此，若用 $K^{(2)}$ 表示 $K$ 的二维骨架，即 $K$ 中所有 0-、1- 与 2-单形构成的集合，则应有

$${\pi }_1(|K|)\cong {\pi }_1(|K^{(2)}|).\text{\hspace{1em}(4.21)}$$

这在具体计算中十分有用。例如，一个 3-单形与它的边界具有相同的二维骨架。3-单形是实心球 $D^3$ 的一个多面体 $|K|$，而它的边界 $|L|$ 则是球面 $S^2$ 的一个多面体。由于 $D^3$ 可缩，故 ${\pi }_1(|K|)\cong \{e\}$。由(4.21)可得 ${\pi }_1(S^2)\cong {\pi }_1(|K|)\cong \{e\}$。一般地，对 $n\ge 2$，$(n+1)$-单形 ${\sigma }_{n+1}$ 与 ${\sigma }_{n+1}$ 的边界具有相同的二维骨架。若注意到 ${\sigma }_{n+1}$ 可缩，而 ${\sigma }_{n+1}$ 的边界是 $S^n$ 的一个多面体，便得到公式

$${\pi }_1\left(S^n\right)\cong \{e\}n\ge 2.\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

例 4.6

设 $K\equiv \{v_1,v_2,v_3,⟨v_1{v}_2⟩,⟨v_1{v}_3⟩,⟨v_2{v}_3⟩\}$ 是圆周 $S^1$ 的一个单纯复形。我们取 $v_1$ 作为基点。极大树可以取为 $L=\{v_1,v_2,v_3,⟨v_1{v}_2⟩,⟨v_1{v}_3⟩\}$。生成元只有一个 $g_{23}$。由于 $K$ 中没有 2-单形，故关系为空。因此，

$${\pi }_1\left(S^1\right)\cong G(K;L)=\left(g_{23};\varnothing \right)\cong \mathbb{Z}\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

这与定理 4.5一致。

例 4.7

$n$-花束由 $n$ 个圆周的单点并定义。例如，图 4.11 是 3-花束的一个三角剖分。取公共点 $v$ 作为基点。图 4.11 中的粗线构成一棵极大树 $L$。$G(K;L)$ 的生成元为 $g_{12}$、$g_{34}$ 和 $g_{56}$。这里没有关系，于是得到

图 4.11　一个三花束的三角剖分。粗线表示极大树 $L$。

$${\pi }_1(3-\text{花束})=G(K;L)=(x,y,z;\varnothing ).\text{\hspace{1em}(4.24)}$$

注意这是一个自由群，但不是自由阿贝尔群。非交换性可以这样说明：考虑基点 $v$ 处分别环绕不同洞的两个环路 $\alpha$ 与 $\beta$。显然乘积 $\alpha \ast \beta \ast {\alpha }^{-1}$ 不能连续形变为 $\beta$，因此 $[\alpha ]\ast [\beta ]\ast [\alpha {]}^{-1}\ne [\beta ]$，即

$$[\alpha ]\ast [\beta ]\ne [\beta ]\ast [\alpha ].\text{\hspace{1em}(4.25)}$$

一般地，一个 $n$-花束有 $n$ 个生成元 $g_{12},\dots ,g_{2n-12n}$，其基本群同构于具有 $n$ 个生成元且无关系的自由群。

例 4.8

设 $D^2$ 是一个二维圆盘。$D^2$ 的一个三角剖分 $K$ 由一个连同其内部一起取定的三角形给出。显然 $K$ 本身可以取为 $L$，而 $K-L$ 是空的。于是得到 ${\pi }_1(K)\cong \{e\}$。

例 4.9

图 4.12 是环面 $T^2$ 的一个三角剖分。图中阴影部分取为子复形 $L$。[请验证它包含所有顶点，并且既是弧连通的又是单连通的。]共有 11 个生成元和 10 个关系。我们取 $x=g_{02}$ 与 $y=g_{04}$，并写出这些关系

图 4.12　环面的一个三角剖分。

(a) $g_{02}{g}_{27}=g_{07}\to g_{07}=x$
(b) $\begin{array}{rcl}{g}_{03}& g_{37}& =g_{07}\\ 1& & x\end{array}\to g_{37}=x$
(c) $\begin{array}{ccc}{g}_{37}& g_{78}& =g_{38}\\ x& 1& \end{array}\to g_{38}=x$
(d) $\begin{array}{c}{g}_{34}\\ 1\end{array}{g}_{48}=\begin{array}{c}{g}_{38}\\ x\end{array}\to g_{48}=x$
(e) $g_{24}{g}_{48}=g_{28}\to g_{24}x=g_{28}$
(f) $g_{02}{g}_{24}=g_{04}\to x{g}_{24}=y$

(g) $\begin{array}{ccc}{g}_{04}& g_{46}& =g_{06}\to g_{06}=y\\ y& 1& \end{array}$
(h) $g_{01}{g}_{16}=g_{06}\to g_{16}=y$ 1
(i) $\begin{array}{ccc}{g}_{16}& g_{68}& =\\ y& 1& \end{array}\Rightarrow g_{18}\to g_{18}=y$
(j) $g_{12}{g}_{28}=g_{18}\to g_{28}=y$ 1

由 (e) 和 (f) 可得 $x^{-1}yx=g_{28}$。最后我们得到

$$\begin{array}{rl}& g_{02}=g_{07}=g_{37}=g_{38}=g_{48}=x\\ & g_{04}=g_{06}=g_{16}=g_{18}=g_{28}=y\\ & g_{24}=x^{-1}y\end{array}$$

以及关系 $x^{-1}yx=y$，即

$$xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1.\text{\hspace{1em}(4.26)}$$

这表明 $G(K;L)$ 由两个交换的生成元生成（注意 $xy=yx$），因此（参见例 4.4）

$$G(K;L)=(x,y;xy{x}^{-1}{y}^{-1})\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\text{\hspace{1em}(4.27)}$$

这与(4.11)一致。

我们有如下直观的图景。考虑环路 $\alpha =0\to 1\to 2\to 0$ 与 $\beta =0\to 3\to 4\to 0$。由于 $g_{12}=g_{01}=1$，环路 $\alpha$ 与 $x=g_{02}$ 等同；由于 $g_{12}=g_{01}=1$，$\beta$ 与 $y=g_{04}$ 等同。它们生成 ${\pi }_1(T^2)$，因为 $\alpha$ 与 $\beta$ 是相互独立的非平凡环路。用这些环路来表示，该关系可写成

$$\alpha \ast \beta \ast {\alpha }^{-1}\ast {\beta }^{-1}\sim c_v\text{\hspace{1em}(4.28)}$$

其中 $c_v$ 是 $\nu$ 处的常值环路，见图 4.13。

图 4.13　环路 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足关系 $\alpha \ast \beta \ast {\alpha }^{-1}\ast {\beta }^{-1}\sim c_v$。

更一般地，设 ${\Sigma }_g$ 是亏格为 $g$ 的环面。如problem 2.1中所示，${\Sigma }_g$ 可表示为 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个子集，并在边界处作适当的等同。${\Sigma }_g$ 的基本群由 $2g$ 个环路 ${\alpha }_i,{\beta }_i$（$1\le i\le g$）生成。类似地，对照(4.28)，我们可以验证

$$\prod _{i=1}^g\left({\alpha }_i\ast {\beta }_i\ast {\alpha }_i^{-1}\ast {\beta }_i^{-1}\right)\sim c_v\text{\hspace{1em}(4.29)}$$

若把对应于 ${\alpha }_i$ 的生成元记为 $x_i$，把对应于 ${\beta }_i$ 的生成元记为 $y_i$，则它们之间只有一个关系，

$$\prod _{i=1}^g\left(x_i{y}_i{x}_i^{-1}{y}_i^{-1}\right)=1.\text{\hspace{1em}(4.30)}$$

练习 4.4

图 4.14 是克莱因瓶的一个三角剖分，阴影部分是子复形 $L$。该剖分有 11 个生成元和 10 个关系。取 $x=g_{02}$ 与 $y=g_{04}$，写出各 2-单形对应的关系，以证明

图 4.14　克莱因瓶的一个三角剖分。

$${\pi }_1(\text{克莱因瓶})\cong (x,y;xyx{y}^{-1}).\text{\hspace{1em}(4.31)}$$

例 4.10

图 4.15 是实射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ 的一个三角剖分，阴影部分是子复形 $L$。该剖分有 7 个生成元和 6 个关系。

图 4.15. 实射影平面的一个三角剖分。

我们取 $x=g_{23}$，写出各关系

(a) $\begin{array}{ccc}{g}_{23}& g_{34}& =g_{24}\to g_{24}=x\\ x& 1& \end{array}$
(b) $\begin{array}{ccc}{g}_{24}& g_{46}& =g_{26}\to g_{26}=x\\ x& 1& \end{array}$
(c) $\begin{array}{ccc}{g}_{12}& g_{26}& =g_{16}\to g_{16}=x\\ 1& x& \end{array}$
(d) $\begin{array}{rcl}{g}_{13}& g_{36}& =g_{16}\to g_{36}=x\\ 1& & x\end{array}$
(e) $g_{35}{g}_{56}=g_{36}\to g_{35}=x$ 1
(f) $\begin{array}{ccc}{g}_{23}& g_{35}& =\\ x& x& 1\end{array}\to x^2=1.$

于是我们得到

$${\pi }_1\left(\mathbb{R}{P}^2\right)\cong (x;x^2)\cong {\mathbb{Z}}_2.\text{\hspace{1em}(4.32)}$$

直观上，循环群的出现可以这样理解。图 4.16(a) 是 $\mathbb{R}{P}^2$ 的示意图。取环路 $\alpha$ 与 $\beta$。容易看出，$\alpha$ 可以连续形变到一个点，因此它是 ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)$ 中的平凡元素。由于 $\mathbb{R}{P}^2$ 中把对径点等同起来，$\beta$ 实际上是一条

(a)

(b)

图 4.16. (a) $\alpha$ 是平凡环路，而环路 $\beta$ 不能收缩为一点。(b) $\beta \ast \beta$ 可以连续收缩为一点。

闭环路。由于它不能收缩为一点，所以它是 ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)$ 中的非平凡元素。那么乘积又如何呢？$\beta \ast \beta$ 是一条从 $\mathrm{P}$ 到 $\mathrm{Q}\sim$ $\mathrm{P}$ 走了两遍的环路。由图 4.16(b) 可以看出，$\beta \ast \beta$ 可以连续收缩为一点，因而属于平凡类。这表明，对应于环路 $\beta$ 的同伦类的生成元 $x$ 满足关系 $x^2=1$，这就验证了我们的结果。

同样的图形也可用来证明

$${\pi }_1\left(\mathbb{R}{P}^3\right)\cong {\mathbb{Z}}_2\text{\hspace{1em}(4.33)}$$

其中 $\mathbb{R}{P}^3$ 可看作把 $S^3$ 上的对径点等同起来而得到的空间，即 $\mathbb{R}{P}^3=S^3/(x\sim -x)$。若取 $S^3$ 的半球作为代表，则 $\mathbb{R}{P}^3$ 可表示为一个实心球 $D^3$，并把其表面上的对径点等同起来。如果把图 4.16中的圆盘 $D^2$ 理解为实心球 $D^3$，那么同样的图形就验证了(4.33)。

练习 4.5

习题 4.5. 莫比乌斯带的一个三角剖分由figure 3.8给出。求其极大树，并证明

$${\pi }_1(\text{莫比乌斯带})\cong \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(4.34)}$$

[注：当然，莫比乌斯带与$S^1$具有相同的同伦型，因此(4.34)是平凡的。请读者通过常规步骤得到这一结果。]

4.4.3 $H_1(K)$ 与 ${\pi }_1(|K|)$ 之间的关系

读者或许已经注意到，第一同调群 $H_1(K)$ 与基本群 ${\pi }_1(|K|)$ 之间存在某种相似性。例如，许多空间（圆周、圆盘、$n$ 维球面、环面以及许多其他空间）的基本群都与其相应的第一同调群相同。然而在某些情形下，二者并不相同：$H_1(2$ 花束）$\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ 与 ${\pi }_1(2$ 花束）$=(x,y:\varnothing )$，例如

注意 $H_1(2$ 花束）是自由阿贝尔群(free Abelian group)，而 ${\pi }_1(2$ 花束）是自由群。下面的定理把 ${\pi }_1(|K|)$ 与 $H_1(K)$ 联系起来。

定理 4.9

设 $K$ 是连通的单纯复形。则 $H_1(K)$ 同构于 ${\pi }_1(|K|)/F$，其中 $F$ 是 ${\pi }_1(|K|)$ 的换位子群（见后文）。

设 $G$ 是一个表现（presentation）为 $(x_i;r_m)$ 的群。$G$ 的换位子群 $F$ 是由形如 $x_i{x}_j{x}_i^{-1}{x}_j^{-1}$ 的元素生成的群。于是，$G/F$ 是由 $\{x_i\}$ 生成的、关系集为 $\{r_m\}$ 与 $\{x_i{x}_j{x}_i^{-1}{x}_j^{-1}\}$ 的群。该定理断言：若 ${\pi }_1(|K|)=(x_i:r_m)$，则 $H_1(K)\cong (x_i:r_m,x_i{x}_j{x}_i^{-1}{x}_j^{-1})$。例如，由 ${\pi }_1(2$ 花束）$=(x,y:\varnothing )$，可得

$${\pi }_1(2\text{花束})/F\cong (x,y;xy{x}^{-1}{y}^{-1})\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$$

它与 $H_1(2$ 花束）同构。

定理 4.9 的证明可见于 Greenberg 与 Harper（1981），Croom（1978）中也给出了概述。

例 4.11

由 ${\pi }_1(\text{Klein bottle})\cong (x,y;xyx{y}^{-1})$，可得

$${\pi }_1(\text{克莱因瓶})/F\cong (x,y;xyx{y}^{-1},xy{x}^{-1}{y}^{-1}).$$

将两个关系分别替换为 $x^2=1$ 与 $xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1$，便得到

$$\begin{array}{rl}& {\pi }_1(\text{克莱因瓶})/F\cong (x,y;xy{x}^{-1}{y}^{-1},x^2)\cong \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2\\ & \cong H_1(\text{克莱因瓶})\end{array}$$

其中因子 $\mathbb{Z}$ 由 $y$ 生成，而 ${\mathbb{Z}}_2$ 由 $x$ 生成。

推论 4.2

设 $X$ 为连通拓扑空间。则 ${\pi }_1(X)$ 同构于 $H_1(X)$ 当且仅当 ${\pi }_1(X)$ 是交换的。特别地，若 ${\pi }_1(X)$ 由一个生成元生成，则 ${\pi }_1(X)$ 总同构于 $H_1(X)$。[利用定理 4.9。]

推论 4.3

若 $X$ 与 $Y$ 具有相同的同伦型，则它们的第一同调群相同：$H_1(X)=H_1(Y)$。[利用定理 4.9和 4.3。]

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：9d1efd7290ed981978d78ed030ce87d48ed3f6acd32358b52f9dbd3653aa31b5