4.9 向列相液晶中的缺陷

4.9.1 向列相液晶的序参量

某些有机晶体处于液相时，会表现出十分有趣的光学性质。这类晶体称为液晶(liquid crystal)，其特征是光学各向异性。这里我们关心的是所谓的向列相液晶(nematic liquid crystal)，辛氧基氰基联苯就是一例，其分子结构为

$$N\equiv C-⟨\begin{array}{l}\overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\\ \overline{-}\end{array}⟩-0-C_8{H}_{17}.$$

向列相液晶的分子很像一根棒，其序参量称为指向矢(director)，由棒的平均方向给出。尽管分子本身有头有尾，指向矢却具有反演对称性，区分指向矢 $n=\to$ 与 $-n=\leftarrow$ 是没有意义的。我们自然会想到用 $S^2$ 上的一个点来指定指向矢。这样做除了一点之外都是可行的：两个对径点 $n=(\theta ,\varphi )$ 与 $-n=(\pi -\theta ,\pi +\varphi )$ 表示同一个状态，如图 4.23所示。因此，向列相液晶的序参量是实射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$。一般而言，指向矢场

图 4.23. 由于指向矢 $n$ 没有头也没有尾，人们无法区分 $n$ 与 $-n$。因此，这两幅图对应的是同一个序参量构型。

依赖于位置 $\mathbf{r}$。于是我们可以定义一个映射 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}{P}^2$。这个映射称为织构(texture)。${\mathbb{R}}^3$ 中实际的序参量构型也称为织构。

4.9.2 向列相液晶中的线缺陷

由例 4.10可知，${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)\cong {\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$。向列相液晶中存在两种线缺陷：其中一种可以连续形变为均匀构型，而另一种则不能。后者代表一个稳定的涡旋，其织构如图 4.24所示。读者应观察这一织构是如何把环路$\alpha$映射到$\mathbb{R}{P}^2$上的。

图 4.24. 向列相液晶中的一个涡旋，它对应于 ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)={\mathbb{Z}}_2$ 的非平凡元素。

练习 4.9

证明图 4.25中的线“缺陷”是虚假的，即中心的奇点可以通过在边界处指向矢保持不变的条件下对指向矢作连续形变而消除。这对应于运算 $1+1=0$。

图 4.25. 一种可以连续形变为均匀构型的线缺陷。

4.9.3 向列相液晶中的点缺陷

由例 4.14可知，${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^2)=\mathbb{Z}$。因此，向列相液晶中存在稳定的点缺陷。图 4.26给出了属于类$1\in \mathbb{Z}$的点缺陷的织构。

图 4.26. 向列相液晶中点缺陷的织构。

值得指出的是，线缺陷与点缺陷可以组合成环缺陷，这种缺陷同时由${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)$和${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^2)$刻画，见 Mineev (1980)。若从远处观察该环缺陷，它看起来就像一个

点缺陷，而它沿环的局部结构由${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)$刻画。图 4.27就是这种环缺陷的一个例子。环路$\alpha$对${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)\cong {\mathbb{Z}}_2$进行分类，而球面（2-环路）$\beta$对${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^2)=\mathbb{Z}$进行分类。

图 4.27. 向列相液晶中环缺陷的织构。环路$\alpha$对${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)$进行分类，而球面（2-环路）$\beta$对${\pi }_2(\mathbb{R}{P}^2)$进行分类。

4.9.4 高维织构

第三同伦群 $\pi (\mathbb{R}{P}^2)\cong \mathbb{Z}$ 会在三维向列相液晶介质中导致一种有趣的无奇点织构。设指向矢场趋于某个渐近位形，例如当 $|r|\to \infty$ 时 $n=(1,0,0{)}^{\mathrm{t}}$。于是该介质实际上被紧致化为三维球面 $S^3$，而织构的拓扑结构由 ${\pi }_3(\mathbb{R}{P}^2)\cong \mathbb{Z}$ 分类。那么，对应于该同伦群的非平凡元素的织构是什么样的呢？

${\mathbb{R}}^3$ 中的任意旋转由一个单位向量 $e$ 和旋转角 $\alpha$ 确定，其中 $e$ 是旋转所绕的轴。可以给这个旋转指定一个“向量” $\Omega =\alpha e$。它并不严格是一个向量，因为 $\Omega =\pi e$ 与 $-\Omega =-\pi e$ 表示同一个旋转，因而应当等同。因此，$\Omega$ 属于实射影空间 $\mathbb{R}{P}^3$。设取 $n_0=(1,0,0{)}^{\mathrm{t}}$ 作为标准指向矢。那么，任意的指向矢位形都可由将 $n_0$ 绕某轴 $e$ 旋转角度 $\alpha$ 来指定：$n=R(e,\alpha )n_0$，其中 $R(e,\alpha )$ 是 SO(3) 中相应的旋转矩阵。设织构场由施加如下旋转给出

$$\alpha e(\mathbf{r})=f(r)\hat{\mathbf{r}}\text{\hspace{1em}(4.68)}$$

趋于 $n_0$，其中 $\hat{r}$ 是沿位置向量 $r$ 方向的单位向量，并且

$$f(r)=\{\begin{array}{ll}0& r=0\\ \pi & r\to \infty .\end{array}$$

图 4.28 给出了该织构的指向矢场。注意，尽管该织构中没有奇点，却无法把它“解开”为均匀构型。

(a)

图 4.28. ${\pi }_3(\mathbb{R}{P}^2)\cong \mathbb{Z}$ 的非平凡元素所对应的织构。(a) 给出旋转“向量” $\alpha e$。当 $|r|\to \infty$ 时，长度 $\alpha$ 趋于 $\pi$。(b) 给出相应的指向矢场(director field)。

(b)

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